___函数的极值与最值.pptVIP

实际问题求最值应注意 (1) 建立目标函数; (2) 求最值; 若目标函数只有唯一驻点, 则该点的函数 值即为所求的最大(小)值. 例3. 可口可乐公司要设计一个容量为 的圆柱体易拉罐饮料瓶, 试问易拉罐的半径和高的比例等于多少时所用材料最省？ 则问题归结为求 r, h 在条件 解: 设 r, h 分别表示半径和高 下圆柱体饮料瓶的表面积 最小. 为此，将条件 带入表达式 中即得： 由条件 故可口可乐易拉罐饮料瓶的半径与高的比例为 时所用的材料最省。 令 例4 某房产开发商有50套公寓要出租，当租金定为每月1800元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每套每月需花费200元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 （唯一驻点） 故每月每套租金为3500元时收入最高。 最大收入为 例5 解 如图, 解得 小结 极值是函数的局部概念：可有多个极大值和极小值；可能有某个极小值大于某个极大值. 函数的极值必在驻点和不可导点取得. 充分性判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件)。 最值是整体概念. 求实际问题中的最值的步骤. 思考题 解答: 不一定 . 因为最值点不一定是内点. 例 在 有最小值，但 O x y 1 y=x 试问 为何值时, 在 时取得极值 , 还是极小. 解: 由题意应有 又 取得极大值为 练习 1 求出该极值, 并指出它是极大 练习2 解 目标函数 得 (1) (2) 求最大值点 半径为R. 求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的 设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V, 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 就是最大值点, 最大体积为 令 得 (舍去负值) 唯一驻点 费 马 Pierre de Fermat (1601－1665) 费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学，以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作. 费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” . * 二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与最值 第三章 函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。 一、函数极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 二、函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 注 ①这个结论又称为Fermat定理 ②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号 ③不可导点也可能是极值点 极值可疑点：驻点、不可导点 极值可疑点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若极值可疑点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 例2 解 图形如下 注意: 例3 解 注:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例4 证 （不易判明符号） 而且是一个最大值点， 利用导数的性质证明不等式是一种常用的 技巧, 它包含以下几个部分: 利用微分中值定理 利用泰勒公式 (二阶以上的) 利用函数的单调性和凹凸性 利用函数的极值和最值 充分条件来判定有无极值; 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 可用第二充分条件判断有无极值. 运用极值第一、第二充分条件需要注意: 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 (1) (2) 则 最大值、最小值问题 在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值