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第九章 列联表 contents 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 1 低维列联表的Fisher 精确检验 2 对数线性模型与高维列联表的独立性检验简介 3 一、交互分类和列联表 所谓交互分类(Cross Classification)是指对某一样本同时按两个或两个以上标准进行的交叉分类。 所谓列联表(Contingency Table)就是交互分类后形成的表格。如下表： 妇女的志愿与其受教育水平的交互分类表 志愿（Y） 教育水平(X) 合计 高 低 幸福家庭 125 95 220 理想工作 65 105 170 合计 190 200 390 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 二、r×c列联表 第二分类准则 第一分类准则 水平 水平 1 2 3 … C 合计 1 O11 O12 O13 … O1c n1. 2 O21 O22 O23 … O2c N2. 3 O31 O32 O33 … O3c N3. … … … … … … … r Or1 Or2 Or3 … Orc Nr. 合计 n.1 n.2 N.3 … n.c n 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 在r×c列联表中，第一种分类准则将样本分成了C个水平（即C列）；第二个分类准则将样本分成了r个水平（即r行）；交叉点上的Oij，(i=1，2，…，r；j=1，2，…，c）表示样本落在第i行第j列(单元)的样本数，我们称为该单元的实际观察频数。 令ni.和n.j分别表示第i行第j列的样本总数，则： 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 式中n就是随机样本的容量。 如果令Pij表示任一样本落在第i行第j列的概率，则Pi.和P.j分别表示列联表的行边际概率和列边际概率，且 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 三、齐性X2检验 一般假设为： H0：行分布是齐性的（即各行的总体分布一致F1(x)=F2(x) )=…=Fr(x) ） H1：行分布不齐（即各行的总体分布不一致F1(x) ≠ F2(x) ) ≠ … ≠ Fr(x) ） 在r×c列联表中，如H0成立表明各行在同一列的比率一致，即Ｐi1=Ｐi2=…=Ｐic=P.j (i=1，2，…，r;j=1，2，…，c) 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 在H0成立时，第ij单元的期望值(预期频数) 按Ｘ2统计量的定义可表示为： 它在样本量较大时（一般Eij大于5时）近似服从自由度为k(r-1)-(r-1)=(k-1)(r-1)的Ｘ2分布。 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 例9.1 : 检验两种教学方法的成效。把学生分成两组，随机地从两组中各抽出50名学生，根据每个学生期末成绩分为甲、乙、丙、丁、戊五个等级，具体数字下表所示： 两组学生的期末成绩表 根据题意，可检验如下假设： Ｈo：两种教学法使学生的成绩无显著性差异； Ｈ1：Ｈo假设为不真。 若Ｈo为真，则两组学生的成绩在各相应等级的概率应相等(即Ｐ1j＝Ｐ2j) 。 组别 等级 总数 甲 乙 丙 丁 戊 1组 8 13 16 10 3 50 2组 4 9 14 16 7 50 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 这样可计算各等级概率的估计值为： 甲级(8+4)/100=0.12 乙级(13+9)/100=0.22 丙级(16+14)/100=0.30 丁级(10+16)/100=0.26 戊级1-(0.12＋0.22＋0.30＋0.26)=1-0.9=0.10 所以： 查自由度为(R－1)(C－1)=(5-1)(2-1)=4，a=0.05，C=9.488，X2＜C，接受Ｈo假设。 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 例9.2：一个市场分析员想知道年龄不同的人所喜欢的电视节目是否不同，他在不同年龄组中各抽选了一个随机样本，并请样本中的每一个人指出自己喜欢的节目类型，调查结果列于下表，括号内是预期频数。 喜爱的电视节目与年龄的交互分类 节目类型 年龄小组 A B C 合计 30岁以下 120(70) 30(67.50) 50(62.50) 200 30-44岁 10(35) 75(33.75) 15(31.25) 100 45岁及以上 10(35) 30(33.75) 60(31.25) 100 合计 140 135 125 400 9.1 二维列联表的齐性和独立性的χ2检验 如果不同年龄组喜爱的节目一致，则在每一年龄组中，喜欢A类节目者的比例都等于140/400=0.35，将每一样本数乘以0.35，便得出不同年龄组喜欢A类节目的预期频数。于是有200*0.35=70，100*0.35=35，其余数据可用类似的方