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解： 解： 三、 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 定理： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1： 证明： 由定理，知 ,即存在初等矩阵 使得 又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。 等号两边右乘 推论2： 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 即， 解： 例3： 练习 ：用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆! 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换. 注： 即 初等行变换 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 * 第2.5节 初等变换与初等矩阵 一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 主要内容: 四、思考与练习 一 、矩阵的初等变换 线性方程组的一般形式 什么是初等变换? 用矩阵形式表示此线性方程组： 令 则，线性方程组可表示为 如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 统称为矩阵的 初等行变换 定义1： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 矩阵的初等变换 通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 定义2： 用矩阵的初等行变换解方程组（1）： 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．非零行的首非零元逐行增加. 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如， 特点： 所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵. 注： 1、任何一个矩阵经过有限次初等变换总可以化为标准型； 2、 阶可逆方阵化为标准型矩阵必为 阶单位阵； 定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 二、初等矩阵 (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。 (2) 以数 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。 (3) 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 例1：计算 定理： 证明： 具体验证即可 另两种情形同理可证 一般记法： 例2： (1) 设初等矩阵 * *