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§3.２初等矩阵和逆矩阵的求法 一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵的概念 三、初等矩阵的应用 四、小结 思考题 思考题解答 即 初等行变换 例4 解 列变换 行变换 解 例5 * * 一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵的概念 三、初等矩阵的应用 四、小结 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 引例 求解线性方程组 用矩阵的初等行变换 解方程组： 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 例如， 特点： 所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简单的矩阵. 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 例1 以下矩阵是否初等矩阵? 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 证 即 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例3 * * *