_第八__闭区间上连续函数的性质.pptVIP

第九节 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理 基本要求： 1. 了解闭区间上连续函数的性质 —— 最值定理;介值定理;零点定理. 2. 能正确叙述定理得条件、结论, 了解其几何意义. 3. 能正确运用定理作一些不太复杂的证明题.. 一、最大值和最小值定理 定义 设函数 y=f(x) 定义在区间I内上, 若 ? ? , ??I, 对?x?I 有： f(x)? f(? ), f(x) ? f(?), 则称 f(x)在区间 I 上的最大值 f(? ), 最小值 f(?). 记为： 例如: 定理1(最值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值. 注意 若区间是开区间,或区间内有间断点, 定理结论不一定成立. 例如 在(0,1)内无最大值和最小值. 又如 在[0,2]内无最大值和最小值. 二、零点定理与介值定理 定理2(零点定理) 若f(x)?C[a,b], 且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)?f(b)0), 则至少存在一点 ??(a,b) 使 f(? )=0. 几何解释: 注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性. 例1 证 由零点定理, 几何解释: M f(b) ? f(a) m a b 定理3(介值定理) 若 f(x)?C[a,b], 且 f(a) ? f(b),则对介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个实数 ? , 至少存在一点 ? ?(a,b) 使 f(?) = ? . 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 例2 证 由零点定理, 设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一. 例3 证 由零点定理, 即方程至少有三个实根?1, ?2, ?3. 又∵方程为三次方程, 至多只有三个实根. ∴ 方程只有三个实根. 命题得证. 例4 证明：实系数的奇次代数方程至少有一实根. 证 设实系数的奇次代数方程为 由零点定理, 即方程至少有一个实根 x0 . 三、小结 三个定理 最值定理;介值定理;零点定理. 设 f(x) ?C [a,b], 则: 1. f(x)在[a,b]上有界. 2. f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值. 3. f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值. 4. 若 f(a)?f(b)0 , 则至少存在 ??(a,b) , 使 f(? )=0. 解题思路 1.直接法 2.辅助函数法 思考题 下述命题是否正确？ 解答 不正确. 例如 函数