§向量组的秩与矩阵的秩.pptVIP

* 定义1 设有向量组Ⅰ：a1? a2? ???? am? 如果在Ⅰ中能选出r个向量a1? a2? ???? ar? 满足 (1)向量组 a1? a2? ???? ar线性无关? (2)向量组Ⅰ 中任一个向量都可由a1? a2? ???? ar线性表示? 那么向量组a1? a2? ???? ar 称为向量组Ⅰ的一个极大线性无关向量组,简称极大无关组. §3.3 向量组的秩与矩阵的秩 一 向量组的秩 注：定义中(2)也可以叙述为 (2′) 向量组Ⅰ 中任意 r?1个向量都线性相关? 向量组的极大无关组一般不是唯一的. 例如已知 a1?(1? 1? 1)T? a2?(0? 2? 5)T? a3?(2? 4? 7)T? 因为a1? a3和a2? a3都是线性无关组? 而a1? a2? a3线性相关? 所以a1? a3和a2? a3都是向量组a1? a2? a3的极大无关组? 定义2 向量组Ⅰ：a1? a2? ???? am极大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩? 记为r(Ⅰ) 或 r(a1? a2? ???? am) ? 只含零向量的向量组没有极大无关组? 规定它的秩为0? 已知n维单位坐标向量构成的向量组 E? e1? e2? ???? en 是线性无关的? 例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn? 求Rn的一个极大无关组及Rn的秩? 解 因此? 向量组E是Rn的一个极大无关组? 且Rn的秩等于n? 又知Rn中的任意n?1个向量都线性相关? 显然? Rn的极大无关组不唯一? 任何n个线性无关的n维向量都是Rn的极大无关组? 推论1 向量组a1? a2? ???? am线性相关的充要条件是 r(a1? a2? ???? am)?m 定理1 向量组a1? a2? ???? am线性无关的充要条件是 r(a1? a2? ???? am)=m 定理2 若向量组b1? b2? ???? bl能由向量组a1? a2? ???? am线性表示? 则 r(b1? b2? ???? bl) ? r(a1? a2? ???? am)? 推论2 若两个向量组等价，则它们的秩相等. 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。 例2 设向量组B能由向量组A线性表示? 且它们的秩相等, 证明向量组A与向量组B等价? 证 定义3：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 的行向量组是 可以证明， 是A的行向量组的一个极大无关组， 所以矩阵A的行秩为3。 二 矩阵的秩 矩阵 A 的列向量组是 可以验证 线性无关， 且 所以矩阵 A 的列秩是3。 矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩. 定理5　矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组对应的向量有相同的线性关系. (证略) 定理4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩? 也等于它的列向量组 的秩. *