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第八章 回归和相关 双变量计量资料：每个个体有两个变量值 总体：无限或有限对变量值 样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关 简单、基本——直线回归、直线相关 英国人类学家 F.Galton首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身高、臂长、拃(zha)长（伸开大拇指与中指两端的最大长度）做了测量 为了研究父亲与成年儿子身高之间的关系，卡尔.皮尔逊测量了1078对父子的身高。把1078对数字表示在坐标上，如图。用水平轴X上的数代表父亲身高，垂直轴Y上的数代表儿子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点图。它的形状象一块橄榄状的云，中间的点密集，边沿的点稀少，其主要部分是一个椭圆。 结果发现：儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系： 。 也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”。 目前，“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。 第一节 直线相关 适用条件：用于双变量正态分布资料。 相关分析是用于分析两变量间的互依关系。 相关系数又称积差相关系数（coefficientｏf product-moment correlation），它说明具有直线关系的两变量之间，相关的密切程度与相关方向。用r表示。 -1≤r≤1 相关系数对样本相关关系的计量 计算例8-1的相关系数 第二节 直线回归 区别于函数关系和统计关系 函数关系： 两变量的数量表现在一定条件下是完全确 定的。 如： 圆的面积和半径的关系 统计关系（相关关系）：两变量的数量表现尽管存在着密切关系，但却不是完全确定的。 如：成本和利润的关系 建立 线性回归模型的步骤 1、确定研究的问题 2、设样本回归模型(如: ) 3、搜集样本资料(数据资料) 4、估计未知参数(计算统计量) 5、得到样本回归方程 6、用模型预测因变量 建立 样本线性回归模型的方法----最小二乘法 回归系数的统计学意义:x每增加(减)一个单位,y平均改变b个单位. 三、线性回归方程的假设检验 （二）、t检验 第三节 直线回归与相关的区别和联系 一、区别： 1、资料要求不同 因变量服从正态分布---Ⅰ型回归 因变量与自变量服从双变量正态分布---Ⅱ型回归 2、r、b不同（意义、计算公式、取值范围、单位、取值大小不同） r说明具有直线关系的两变量间的相关关系的密切程度与相关方向的指标 b是指x每增减一个单位，y改变b个单位。 3、应用情况不同 4、意义不同：回归说明依存关系，相关说明互依关系。 二、联系 1、方向一致 2、假设检验等价 3、用回归解释相关 ⑴、决定系数（coefficient of determination)r2:指回归平方和SS回占总离均差平方和SS总的比例。用于评价在y的总变异中，由线性回归方程所能解释的比例。 第四节 秩相关 适用条件： 1、不服从双变量正态分布 2、总体分布型未知 3、原始数据用等级表示的资料 一、Spearman等级相关 基本思想： 计算公式： 总体等级相关系数?s的检验 1、n≤50时，用查表法（附表10） 2、n50时， 例8-8 某医院管理人员从本医院药房中随机抽样得到某一种片剂的样品，每片药在药房的储存时间（天）及其当前的有效药量（mg）如下所示，试计算此药品储藏时间和它的有效药量之间的秩相关系数。 1、假设： H0：?s=0 H1： ?s≠0 ?=0.05 2、计算检验统计量 1、假设:H0:?=0 H1: ?≠0 ?=0.05 2、计算检验统计量 方差分析表 12.817 F 11 1.061 总变异 0.0828 10 0.828 剩余 0.005 1.028 1 1.028 回归 P MS ? SS 变异来源 3、确定P值，作出推论 回归的剩余标准差（standard