《两角和与差的正弦、余弦函数》课件(北师大版必修).pptVIP

* 新课标北师大版课件系列 《高中数学》 必修4 两角和与差的 　　正弦、余弦函数 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样 的问题：已知任意角α、β的三角函数值， 如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先引出平面内两点间的距离公式， 并从两角和的余弦公式谈起. 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x y O . . P1(x1, y1) P2(x2, y2) M1(x1, 0) M2(x2, 0) N1(0, y1) N2(0, y2) Q P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃， 由勾股定理，可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, =┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2 由此得到平面内 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式： P1P2= ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 接下来，我们继续考虑如何运用两点间 的距离公式，把两角和的余弦cos(α+β)用 α、β的三角函数来表示的问题. x y O 如图，在直角坐标 平面xOy内作单位圆O, 并作出角α、β和–β， α P1 P2 P3 P4 β –β α+β P1(1, 0), 各点坐标： P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), x y O α P1 P2 P3 P4 β –β α+β P1(1, 0), 各点坐标： P2(cosα, sinα), P3(cos(α+β), sin(α+β)), P4(cos(–β), sin(–β)), 由P1P3＝P2P4及两点间距离公式，得 [cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) =[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2, [cos(α+β)–1]2+sin2(α+β) =[cos(–β)–cosα]2 +[sin(–β)–sinα]2, cos2(α+β)–2cos(α+β)+1+sin2(α+β) =cos2β–2cosα cosβ+ cos2α + sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ， ∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ， （C（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ （C（α+β）） 这个公式对于任意角α、β都成立. 例如　cos(62° ＝cos62° – cos59° +59°) sin62° sin59°; cos(113° ＝cos113° – cos27° +27°) sin113° sin27°; cos[α ＝cosα – cos(–β) +(–β)] sinα sin(–β)， cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ. （C（α+β）） cos[α ＝cosα – cos(–β) +(–β)] sinα sin(–β)， cosβ cos(α ＝cosα + –β) sinα sinβ. （C（α–β）） 例如 cos(113° ＝cos113° + cos27° –27°) sin113° sin27°; cos(113° ＝cos113° + cos27° +27°) sin113° sin27°; cosβ cos(α ＝cosα + –β) sinα sinβ. （C（α–β）） + cosα –α) sinα cos( π 2 ＝cos π 2 sin π 2 =sinα， 即 –α) cos( π 2 =sinα， π 2 这里，等号两边的角的和为　， α cos π 2 =sin( –α)， ∴ 即 –α) cos( π 2 =sinα， π 2 这里，等号两边的角的和为　， α cos π 2 =sin( –α)， ∴ 这就是说，诱导公式 –α) cos( π 2 =sinα， cosα, π 2 sin( –α)＝ 当α为任意角时仍然成立. –α) cos( π 2 =sinα， cosα, π 2 sin( –α)＝ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ. 运用上述公式，得 sin(α+β)= cos[ –(α+β)] π 2 =cos[( –α)–β] π 2 =cos( –α)cosβ π 2 +sin( –α)sinβ π 2 =sinαcosβ +cosαsinβ, 即　 sin(α+β)=sinαcosβ