《场论与复变》课件第讲.pptVIP

第三讲 解析函数的充要条件初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。 作 业 P67 2, 8, 15, 18 由正弦和余弦函数的定义得 其它三角函数的定义(详见P51) 定义 —称为双曲正弦和双曲余弦函数 双曲正弦和双曲余弦函数的性质 三. 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数。即， (1) 对数的定义 故 特别 * 1. 解析函数的充要条件 2. 举例 §2.2 解析函数的充要条件 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 问题 如何判断函数的解析性呢？ 一. 解析函数的充要条件 记忆 定义 方程 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). 定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 上述条件满足时,有 证明 （由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 则 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1), 且 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+?1Δx-?2Δy) +i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy) 令：f (z+Δz) - f (z)=Δu+iΔv，f ?(z)= a+ib， ?(Δz)=?1+i?2 故（1）式可写为 因此 Δu=aΔx-bΔy+?1Δx-?2Δy , Δv=bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy 所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导） ∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即： 定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件. iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的. 二. 举例 例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析： 解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则 解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny 仅在点z = 0处满足C-R条件，故 解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则 例2 求证函数 证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C-R条件： 故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为 例3 证明 例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f ?(z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数. 那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x,