《统计分析方法及应用》PPT(第二).pptVIP

第二章 矩阵代数 §2.1 定义 §2.2 矩阵的运算 §2.3 行列式 §2.4 矩阵的逆 §2.5 矩阵的秩 §2.6 特征值、特征向量和矩阵的迹 §2.7 正定矩阵和非负定矩阵 §2.1 定义 p×q矩阵： p维列向量： q维行向量： a′=(a1,a2,?,aq) 向量a的长度： 单位向量： 若A的所有元素全为零，则称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。 若p=q，则称A为p阶方阵，a11,a22,?,app称为它的对角线元素，其他元素aij(i≠j)称为非对角线元素。 若方阵A的对角线下方的元素全为零，则称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的对角线上方的元素全为零，则称A为下三角矩阵。显然，aij=0,ij。 若方阵A的所有非对角线元素均为零，则称A为对角矩阵，简记为A=diag(a11,a22,?,app)。 若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1，则称A为p阶单位矩阵，记作A=Ip或A=I。 若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转置，记作A′，即 若方阵A满足A′=A，则称A为对称矩阵。显然，aij=aji。 §2.2 矩阵的运算 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q,则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q 若c为一常数，则它与A的积定义为 cA=(caij)：p×q 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r,则A与B的积定义为 运算规律 (1)(A+B)′=A′+B′。 (2)(AB)′=B′A′。 (3)A(B1+B2)=AB1+AB2。 (4) 。 (5)c(A+B)=cA+cB。 若两个p维向量a和b满足 a′b=a1b1+a2b2+?+apbp=0 则称a和b正交。几何上，正交向量之间相互垂直。 若方阵A满足AA′=I，则称A为正交矩阵。显然， ， i=1,2,?,p，即A的p个行向量为单位向量； ，即A的p个行向量相互正交。又从A′A=I得： (j≠k)，即A的p个列向量也是一组正交单位向量。 正交矩阵A的几何意义 将p维向量x看作是在Rp中的一个点，则x的各分量是该点在相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即?1。若|A|=1，则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转)，y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标；若|A|=?1，则包含了一个反射的坐标轴。 当p=2时，按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度θ，所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为 当p=3时同样有着直观的几何展示。 由于 y′y=(Ax)′(Ax)=x′A′Ax=x′x 故在新、旧坐标系下，该点到原点的距离保持不变。 矩阵的分块 设A=(aij)：p×q,将它分成四块，表示成 其中A11：k×l，A12：k×(q?l)，A21：(p?k)×l， A22：(p?k)×(q?l)。 若A和B有相同的分块，则 若C为q×r矩阵，分成 其中C11：l×m，C12：l×(r?m)，C21：(q?l)×m，C22：(q?l)×(r?m)，则有 例2.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A：p×p的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。 证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块，并记 由A′A=I，得 于是 故有 即a1,a2,?,ap为一组正交单位向量。同理，由AA′=I可证a(1),a(2),?,a(p)也是一组正交单位向量。 §2.3 行列式 p阶方阵A=(aij)的行列式定义为 这里 表示对1,2,?,p的所有排列求和，τ(j1j2?jp) 是排列j1,j2,?,jp中逆序的总数，称它为这个排列的逆序数，一个逆序是指在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数。例如，τ(3142)=1+τ(1342)=3+τ(1234)=3。 行列式的一些基本性质 (1)若A的某行(或列)为零，则|A|=0。 (2)|A′|=|A|。 (3)若将A的某一行(或列)乘以常数c，则所得矩阵的行列式为c|A|。 (4)若A是一个p阶方阵，c为一常数，则|cA|=cp|A|。 (5)若互换A的任意两行(或列)，则行列式符号改变。 (6)若A的某两行(或列)相同，则行列式为零。 (7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列)，则所得行列式不变。 (8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合，则行列式为零。 (9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则 (10)若A和B均为p阶方阵，则|AB|=|A||B|。 (11)|AA′|≥0。 (12)若A与B都是方