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(1) 根轨迹的基本概念 (2) 根轨迹的绘制方法 (3) 运用闭环特征方程根的分布来估算系统的性能 （5）根轨迹与虚轴的交点： 方法1：根轨迹与虚轴的交点可以通过将s=jω代入特征方程 解得： 方法2：列劳斯表 解得： 第二节 根轨迹绘制的基本法则 第二节 根轨迹绘制的基本法则 法则7：根轨迹的出射角和入射角 出射角(起始角)：根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴的夹角 。 起始角＝180°+∑[各零点指向本极点的方向角] -∑[其他极点指向本极点的方向角] 第二节 根轨迹绘制的基本法则 终止角(入射角)：根轨迹进入开环复平面上开环复数零点处的切线与实轴的夹角。 终止角＝180°+∑[其他零点指向本零点的方向角] -∑[各极点指向本零点的方向角] 第二节 根轨迹绘制的基本法则 例3：设单位反馈系统的传递函数为 （1）一个开环零点，两个开环极点； 两条根轨迹分支；其中一条趋向于无穷远处。 试绘制闭环系统的根轨迹。 解: （2）渐近线与实轴重合的，实轴上根轨迹（-?，-2]。 第二节 根轨迹绘制的基本法则 （3）会合点 解得 或 （舍去） (4)确定开环共轭复数极点的出射角。 对应开环极点 的出射角 因为根轨迹对称于实轴，所以对应 的出射角 第二节 根轨迹绘制的基本法则 由两个极点（实极点或复数极点）和一个实零点组成的开环系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当根轨迹增益由零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆或圆的一部分，这个结论在数学上可以严格证明。 例 设系统开环传递函数 试绘制闭环系统的大致根轨迹。 解：（1）该系统无开环零点，4个开环极点分别为 在实轴上的根轨迹：[-3，0]。 第二节 根轨迹绘制的基本法则 （3）分离点 首先判断d应该位于[-3 -1.25]之间 （2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点 第二节 根轨迹绘制的基本法则 （5）与虚轴的交点—运用劳斯判据 （4）起始角 列劳斯表： 第二节 根轨迹绘制的基本法则 由劳斯表第一列、第四行元素为零，得： 解辅助方程 第二节 根轨迹绘制的基本法则 *自动控制原理 autocumt@126.com 第一节 根轨迹的基本概念 特征方程的根 运动模态 系统动态响应（稳定性、动态性能） 第四章 线性系统的根轨迹法 为了避免直接求解高阶系统特征根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。 例:绘制二阶系统的根轨迹 开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。 根轨迹的定义:开环传递函数的某一个参数从零变化 到无穷大时，闭环特征根在 S 平面上 的轨迹称为根轨迹。 第一节 根轨迹的基本概念 K s1 s2 0 0 -2 0.25 -0.3 -1.7 0.5 -1 -1 1 -1+j -1-j 2.5 -1+j2 -1-j2 ∞ -1+j∞ -1-j∞ 第一节 根轨迹的基本概念 ? 动态性能： 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。 稳定性： 考察根轨迹是否进入右半 S平面。 根轨迹与系统性能 稳态性能： 开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为I型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许位置。 根轨迹法: 从闭环系统的开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹的方法。 设 控制系统如图所示 闭环极点与开环零、极点之间的关系 开环传递函数 第一节 根轨迹的基本概念 第一节 根轨迹的基本概念 第一节 根轨迹的基本概念 根轨迹法的任务：由已知的开环零点、极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。 结论： 闭环极点(特征根)与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。 第一节 根轨迹的基本概念 由闭环传递函数 当 求出相应的根，就可以在S平面上绘制出根轨迹。 根轨迹方程 根轨迹方程 第一节 根轨迹的基本概念 根轨迹方程可以进一步表示为 幅角条件（相角条件）：（充分必要条件） 幅值条件（模值条件）： 第一节 根轨迹的基本概念 模值条件: 如果没有开环零点: 第一节 根轨迹的基本概念 表示由开环零、极点指向轨迹点的向量的方位角。 第一节