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第三节 协方差及相关系数 * 协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业 问题的引入： X与Y独立时， D(X+Y)= D(X)+D(Y) X与Y不独立时， D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = D(X)+D(Y)+2 [E(XY) -E(X)E(Y)] E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差： 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的公式: 由协方差的定义及期望的性质，可得 一个简单计算公式： D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 Pi X Y -2 -1 1 2 Pj 1 4 例1：设(X,Y)的分布律为： 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 . 二、相关系数： 为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 1、定义: 设D(X)0, D(Y)0, 称 在不致引起混淆时，记 为 . 2、计算: 设D(X)0, D(Y)0, 3、相关系数的性质： 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数 b, 有 0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) 令 ，则上式为 D(Y- bX)= 由于方差D(Y)是正的,故必有 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 2. X和Y独立时， =0(称X和Y不相关)，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 = 0 但由 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. ， Cov(X,Y)=? 事实上，X的密度函数 例2 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X, 求 存在常数 a,b(b≠0）， 使 P{Y= a + b X}=1， 即 X 和 Y 以概率 1 线性相关. 因而 =0， 即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系， 即X和Y不独立 . 考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y， 以均方误差 e =E{[Y-(a+bX)]2} 来衡量以 a +b X 近似表示Y 的好坏程度 : e 值越小表示 a +b X 与 Y 的近似程度越好. 用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的 a,b 相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2aE(Y) e =E{[Y-(a+bX)]2 } 解得 这样求出的 最佳逼近为 L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这一逼近的剩余是 若 =0， Y 与 X 无线性关系; Y与X有严格线性关系; 若 可见, 若0| |1, | | 的值越接近于1, Y 与 X 的线性相关程度越高; | | 的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱. E[(Y-L(X))2]= D(Y)(1- ) *