三江平面问题有限元例题.pptVIP

第九节 计算实例 图3-14所示为一厚度t=1cm的均质正方形薄板，上 下受均匀拉力q=106N/m，材料弹性模量为E，泊松比 ，不记自重，试用有限元法求其应力分量。 1 2 3 4 2 1 x 图 3-15 y 2m y x q=106N/m 图 3-14 例3-1 返回 解： １.力学模型的确定 ２.结构离散 　　由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。 　　该1/4结构被离散为两个三角形单元，节点编号　，单元划分及取坐标如图3-15所示　，其各节点的坐标值见表3-1。 ３.求单元的刚度矩阵 计算单元的节点坐标差及单元面积 　　单元１（i、j、m　　1，2，3） 节点 坐标 １ ２ ３ ４ x y ０ ０ １ ０ １ １ ０ １ 表3-1 返回 计算各单元的刚度矩阵 先计算用到的常数 代入可得: 返回 所以单元1的刚度矩阵为: 1 2 3 1 2 3 返回 由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有: 3 4 1 3 4 1 返回 组集整体刚度矩阵 由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按123对应341，则可得： 按刚度集成法可得整体刚度矩阵为： 返回 返回 所以组集的整体刚度矩阵为： 返回 先求出各单元的应力矩阵[S]1、[S]2，然后再求得各单元的应力分量： 6. 计算各单元应力矩阵，求出各单元应力 单元应力可看作是单元形心处的应力值。 返回 7. 引入约束条件，修改刚度方程并求解 根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列阵： ，并代入刚度方程： ，划去[K]中与0位移相对应的1，2，4，7的行 和列，则刚度方程变为： 求解上面方程组可得出节点位移为： 所以 返回 例3-2 图3-16所示为一平面应力问题离散化以后的结构图，其中图（a）为离散化后的总体结构，图（b）为单元1，2，3，4的结构，图（c）为单元3的结构。用有限元法计算节点位移、单元应变及单元应力（为简便起见，取泊松比 ，单元厚度t=1）。 x y 1 2 3 4 6 5 1 2 3 4 a 3 i j m a a a 1,2,4 i j m 图 3-16 计算实例2的结构图 返回 　　首先求确定各单元刚度所需的系数 　 及面积A，对于单元1，2，4有： 解： 对于单元3有: 返回 其次，求出各单元的单元刚度矩阵。对于1，2，4单元，其单元刚度矩阵为： i j m i j m 返回 各单元的节点编号与总体结构的总编号之间的对应关系见表3-2。 对于单元3，其单元刚度矩阵为： i j m i j m 返回 各单元节点号与总体节点号对应表 单元号 1 2 3 4 节点号 节 点 总 编 号 I 1 2 2 3 j 2 4 5 5 m 3 5 3 6 表3-2 返回 将各单元刚度矩阵按节点总数及相应的节点号关系扩充成12*12矩阵,分别如下: 返回 返回 返回 返回 将扩充后的各单元刚度矩阵相加,得总体刚度矩阵K，即： 返回 所以结构总方程为： 其中 考虑到边界条件： 返回 用对角元乘大数法消除奇异性后的结构总体方程为： 返回 由以上方程解得的各节点的位移为： 返回 然后将相应的节点位移代入