1向量的概念及线性运算.doc

平面向量基本概念和线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 非零向量a的单位向量为±平行向量 方向____或____的非零向量 0与任一向量______或共线 共线向量 __________________的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝____________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________. 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 ________法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝________；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_______ 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. 1.化简－＋－的结果为________. 2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________. 5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D.2＝ 题型一　平面向量的概念辨析 例1　给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a与b同向，且|a||b|，则ab； (2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反； (6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二　向量的线性运算 例2　在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 　在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示. 题型三　平面向量的共线问题 例3　设两个非零向量a与b不共线， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 专项基础训练题组 一、选择题 1.给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线. 其中错误命题的个数为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 2.设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 3.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b (k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A.k＝1且c与d同向 B.k＝1且c与d反向 C.k＝－1且c与d同向 D.k＝－1且c与d反向 二、填空题 4.设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________. 5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. 6.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________. 三、解答题 7.如图