2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题18平面向量的概念及其线性运算.doc

【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【热点题型】 题型一 平面向量的有关概念 【例1】 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【提分秘籍】 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 【举一反三】 给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. ④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量． 答案　C 题型二 　平面向量的线性运算 【例2】 (1)在△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　) A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b (2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________． 解析　(1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝， ∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1. ∴＝＝(－)＝a－b. (2)因为ABCD为平行四边形， 所以＋＝＝2， 已知＋＝λ，故λ＝2. 答案　(1)D　　(2)2 【提分秘籍】 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【举一反三】 (1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　) A．a－b B.a－b C．a＋b D.a＋b (2)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A.＋＋＝0 B.－＋＝0 C.＋－＝0 D.－－＝0 解析　(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a. (2)由题意知：＝，＝，＝，而＋＋＝0，∴＋＋＝0. 答案　(1)D　(2)A 题型三 共线向量定理的应用 【例3】 设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【提分秘籍】 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线． 【举一反三】 (1)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是(　　) A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1 (2)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________． 解析　(1)由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共线，因此 即有mn＝1. (2)设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb， 从而消去λ得＋＝3. 答案　(1)C　(2)3 【高考风向标】 是边长为2的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论得序号） 为单位向量；为单位向量；；；。 【答案】 【解析】 ∵等边三角形ABC的边长为2,∴