2平面向量的概念及线性运算.doc

数学《教·学案》 授课人：邱瑶 时间：9月2日 课题 平面向量的概念及线性运算1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算知 识 梳 理 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求a与b的 相反向量 －b的和的 运算叫做 a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．(×) (2)若ab，bc，则ac.(×) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×) (4)若ab，则λ∈R使b＝λa.(×) 2．(2015·东北三省四市联考)在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD一定是(　　) A．矩形　B．菱形 C．正方形　D．平行四边形 解析　依题意得＋＝＋，＝，因此BCAD，且BC＝AD，四边形ABCD是平行四边形，故选D． 答案　D 3．(2014·新课标全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A．　B．　 C．　D． 解析　设＝a，＝b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A． 答案　A 4．(2014·福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　) A．　B．2 C．3　D．4 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D． 答案　D 5．(人教A必修4P92A12改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________(用a，b表示)． 解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－ ＝－a－b. 答案　b－a　－a－b 考点一　平面向量的有关概念 【例1】 给出下列命题： 若|a|＝|b|，则a＝b； 若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若a＝b，b＝c，则a＝c； 若ab，bc，则ac. 其中正确命题的序号是(　　) A．　B．　 C．　D． 解析　不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． 正确．＝，||＝||且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，且，方向相同，因此，＝. 正确．a＝b，a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 不正确．当b＝0时，a，c可能不平行． 综上所述，正确命题的序号是. 答案　A 【训练1】 给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； 若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零； 已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 解析　错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． 错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0. 错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可