31-第31课时平面向量的线性运算(I).doc

第31课时 平面向量的概念及其运算 一、学习要求 1．理解向量的有关概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、共线向量），能注意零向量的特殊性． 2．能利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的和、差运算，进而学习用基向量表示平面内其它向量的方法． 3．理解点共线与向量的区别与联系，能用共线向量定理解决相关的点共线和向量共线问题． 二、课前1．下列命题中正确的_____________．（1）非零平行向量的方向相同或相反． （2）共线向量即为在同一直线上的向量． （3）单位向量都相等． （4）若a∥b，b∥c，则a∥c． （5）若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形． （6）． 可以写成：①＋；②－；③－；④－．其中正确的是 _____________．化简－＋－＋的结果为．．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且＝a，＝b，则＝．－a＋b 已知△ABC中，AD＝AB，DE∥BC，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，向____________，＝____________，＝____________．a，b表示） (b－a)(a＋b)(a＋b) 例1ABC内一点G为△ABC重心的充要条件是：＋＋＝0． 证明：（必要性）设G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点D因为点G为△ABC的重心，所以D为BC中点，＋＝2．又与方向相反，且｜｜＝2｜｜，则＝－2． 故＋＋＝－2＋2＝0． ＋＋＝0，取BC中点D，则＋＝2，又因为＋＝－，所以＝－2∥．又因为共起点，所以A，D，G三点共线，从而点G在BC边中线AD上．同理可证G在AC边中线和AD边中线上，从而点G为△ABC的重心【小结】例2（1）＝a，＝b，用向量a，b表示，． 解：＝＋＝＋2＝＋2(－) ＝2－＝2a－b 或＝＋＝＋＝＋(－)＝2－＝2a－b 或∵点A是BC的中点，∴2＝＋，从而＝2－＝2a－b． ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b． （2）已知，不共线，＝a＋b，求证：A，B，P三点共线a＋b＝1．A，B，P三点共线∥． ∵＝－，＝－＝(a＋b＝(a－1) ＋b， ∴b＝－(a－1)，即a＋b＝1． a＋b＝1b＝a－1． ∵＝－， ＝－＝(a＋b＝(a－1) ＋(a－1)＝(a－1) (－)， ∴∥， 又∵，共起点， ∴A，B，P三点共线例3 已知e1、e2不共线＝2e1＋ke2，e1＋3e2，e1－e2． 若A，B，D三点共线，求k的值． 解：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2e1－e2， ∵A，B，D三点共线， ∴∥． ∴k＝2×(－4)＝－8． 【小结】 第31课时 平面向量的概念及其运算 1．a，b，c为非零向量，则命题：(1)若b＝λa(λ∈R)，则a，b共线；(2)若a，b共线，则a＝λb(λ∈R)；(3)若a，b，c在同一平面内，则a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，其中真命题______．化简下列各式：（1）(＋)＋(＋)＋ （2）＋＋＋＋． （3）(－)－(－) （4） ＋＋－．结果为零向量的为________．如图，在(ABC中，＝，＝3，＝a， ＝b，则＝___________．a＋b如图，在任意四边形ABCD 中，E，F分别是AD，BC的中点． ＝___________．，表示）(＋) 5．如图，在(ABCD中，点M，N分别为边CD，BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b表示，＝_______，＝_________．因为在(ABCD中，M，N分别为边CD，BC的中点，所以a＝＋＝＋，b＝＋＝＋．联立方程，解得，＝b－a，＝a－b． 6．如图，平面内有三个向量，，，其中与与的夹角为 120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若 ＝λ＋μ（λ，μ∈R）,则λ＋μ的值为 .平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c，又OA、BC的中点分别为D、E，则向量＝_________________．b＋c－a) 8．点R在线段PQ上，且＝，设＝(，则(＝_________．－ 设两个非零向量e1，e2不共线，且(ke1＋e2)∥(e1＋ke2)，则实数k的值为__________．±＝＋)，＝＋，则＝ ________．如图所示，在(ABCD中，＝a，＝b．又AM＝AO，ON＝OB．试用a，b表示，，．在(ABCD中，因为AM＝AO＝AC，故＝＝(＋)＝(a＋b)．＝－＝a－b．同理，＝＝(－)＝(a－b)．＝－＝(a－b)－(a－b)＝a＋b． a、b是不共线的两个非零向量． （1） ＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； （2）8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值； （3）设＝ma，＝nb，＝xa＋yb