41《平面向量的概念及线性运算》.doc

4．1　平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0　　　　　　　　　　B. C. D. 解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝. 答案：D 2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(kR)，d＝a－b.如果cd，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析：c∥d，c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)， ，故选D. 答案：D 3．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 解析：因为矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝(＋)，故选A. 答案：A 4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为ABC的(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点 解析：O是ABC的重心，＋＋＝0，＝＝，点P是线段OC的中点，即是AB边中线的三等分点(非重心)．故选B. 答案：B 5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点C)，则＝(　　) A．λ(＋)，λ(0,1) B．λ(＋)，λ C．λ(－)，λ(0,1) D．λ(－)，λ 解析： 如图所示，＝＋，又点P在上，与同向，且||||，故＝λ(＋)，λ(0,1)． 答案：A 6．非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λR)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ. 又2＝x＋y， 消去λ得x＋y＝2. 答案：A 二、填空题 7．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a、b表示) 解析：由＝3，知N为AC的四等分点． ＝＋ ＝－ ＝－(＋) ＝－＋ ＝－a＋b. 答案：－a＋b 8．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μR，则λ＋μ＝__________. 解析：＝＋，＝＋，＝＋，于是得，所以λ＋μ＝. 答案： 9．设V是已知平面M上所有向量的集合．对于映射f：V→V，aV，记a的象为f(a)．若映射f：V→V满足：对所有a、bV及任意实数λ、μ都有f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f称为平面M上的线性变换． 现有下列命题： 设f是平面M上的线性变换，则f(0)＝0； 对aV，设f(a)＝2a，则f是平面M上的线性变换； 若e是平面M上的单位向量，对aV，设f(a)＝a－e，则f是平面M上的线性变换； 设f是平面M上的线性变换，a、bV，若a、b共线，则f(a)、f(b)也共线． 其中的真命题是______．(写出所有真命题的编号) 解析：对于，f(0)＝f(0·0＋0·0)＝0·f(0)＋0·f (0)＝0，因此正确．对于，f(λa＋μb)＝2(λa＋μb)＝λ·(2a)＋μ·(2b)＝λf(a)＋μf(b)，因此正确．对于，f(λa＋μb)＝(λa＋μb)－e，λf(a)＋μf(b)＝λ(a－e)＋μ(b－e)＝λa＋μb－(λ＋μ)e，显然 (λ＋μ)e与e不恒相等，因此不正确．对于，当a、b共线时，若a、b中有一个等于0，由于f(0)＝0，即此时f(a)、f(b)中有一个等于0，f(a)、f (b)共线；若a、b中均不等于0，设b＝λa，则有f(b)＝f(λa)＝f(λa＋0·0)＝λf(a)＋0·f(0)＝λf(a)，此时f(a)、f(b)共线，综上所述，当a、b共线时，f(a)、f(b)共线．综上所述，其中的真命题是. 答案： 三、解答题 10．在ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示. 解析：取AE的三等分点M，使|AM|＝|AE|，连接DM. 设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 又|AE|＝|AC|， |AC|＝12t，|EC|＝9t，且DMBE. ∴在DMC中＝＝ CP＝CD DP＝CD ＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋(－＋) ＝＋＝a＋b. 11．如图，已知OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于E，＝a，＝b. (1)用a与b表示向量、； (2)若＝λ ，求实数λ的值． 解析：(1)依题意，A是BC中点， 2＝＋，即＝2－＝2a－b. ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)设＝λ， 则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b， 与共线，存在实数k，使＝k， (λ－2)a＋b＝k，解