51平面向量的概念及其线性运算.docx

§5.1　平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　　)(4)△ABC中，D是BC中点，则＝(＋)．(　　)(5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．32．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)A．2－ B．－＋2C.－ D．－＋3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．4．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a，b表示)题型一　平面向量的概念例1　给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．　下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．题型二　平面向量的线性运算例2　(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)A.－B.＋ C.＋D.－(2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c　(1)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)A．0 B.C. D.(2)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．题型三　共线定理的应用例3　设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．．　如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于(　　)A.－ B.＋C.＋ D.－(2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　)A．3 B．4 C．5 D．6方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.温馨提醒　(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．方法与技巧1．向量的线性运算