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初中数学竞赛辅导资料（5） an 的个位数 甲内容提要 .1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。 2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 　　　　　指　　　　　　　　　　　数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 底 数 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 …… 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 …… 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 …… 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。　3和7也有类似的性质。 4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22， 8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。 5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律： a4K＋m与am的个位数相同(k,m都是正整数。 乙例题个位数是多少？ 　解32003的个位数是相同的， ∵2003＝4×500＋3， ∴32003与33的个位数是相同的，都是7， ∴2003的个位数是7。 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由　 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2 　∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0， ∴632000＋1472002的和能被10整除。 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？ 解：列表观察个位数的规律 　　　　　K＝ 1 2 3 4 …… 3的个位数 3 9 7 1 …… 2的个位数 2 4 8 6 …… 3k＋2k的个位数 5 5 ……　 从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5， ∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数） ;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。 丙练习5 在括号里填写各幂的个位数（K是正整数） 220　的个位数是　（　）　　　45　的个位数是（　） 330　　　的个位数是　（　）　　　87　的个位数是（　） 74K+1　的个位数是　（　） 311＋79　的个位数是（　） 216×314的个位数是（　）　　　　　 　 32k-1＋72k-1的个位数是（　） 72k－32k　的个位数是（　）　74k-1－64k-3的个位数是（　） 7710×3315×2220×5525的个位数是（　） 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。 说明如下两个数都能被10整除的理由。 ①　5353－3333　　　　　　　　　②19931991 正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？ 设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。 若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿ 7, 12+22+32+……+92的个位数是＿＿， 　　12+22+32+……+192的个位数是＿＿，　　 12+22+32+……+292的个位数是＿＿。 8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（　　） 　（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321 练习题参考答案 1.?????? 6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0要注意3，7为底的正奇数次幂的和为0，正偶数次幂的差为0 2.?????? 7　　　 3.　算出个位数的差为零 4.?????? 由32＋1写出通解　m=2＋4k (k为非负整数) 5.?????? 可用列表观察其规律 n= 1 2 3 4 2n= ? ? ? ? 7n+2= ? ? ? ? 2n+7n+2 ? ? ? ? 6.?????? 5；1，3或7，9；2，4，6，8；3，7。 7.?????? 5；0；5　　　 8.　B