71平面向量的概念和线性运算.doc

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算 【教学目标】 知识目标： （1）了解向量的概念； （2）理解平面向量的线性运算； （3）了解共线向量的充要条件 能力目标： （1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题； （2）正确进行平面向量的线性运算，并作出相应的图形； （3）应用共线向量的充要条件判断两个向量是否共线； （4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标： （1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】 向量的线性运算． 【教学难点】 已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件． 【课时安排】 5课时． 第一课时 【教学过程】 导入：如图7－图7－A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作． 图7－ 的模依次记作，． 模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． 例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移． 解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b． 图7-3 练习 说出下图中各向量的模，并指出 其中的单位向量 (小方格为1)． 第二课时 导入 观察图7?4中的向量与，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量与所在的直线平行，两个向量的方向相反． 新知识 方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b平行记作//b． 规定：零向量与任何一个向量平行． 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量． 图7?4中的平行向量与，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等． 我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量． 与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作． 规定：零向量的负向量仍为零向量． 显然，在图7－4中，= ，= － 例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点． （1）找出与向量相等的向量； （2）找出向量的负向量； （3）找出与向量平行的向量． 分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反． 解 由平行四边形的性质，得 （1）=； （2）=,； （3）//,//，//． 练习 1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出 （1）与相等的向量；（2）与共线的向量． 2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出 （1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与共线的向量． 第三课时 导入 王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）． 新知 位移叫做位移与位移的和，记作=+． 一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即 a＋b =＋= （7．1） 求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点． 【做一做】给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量． 【想一想】（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明． （2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？ 新知识 如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得 ＋=＋= 这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则． 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，