专题23函数的单调性与最值(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版).doc

【考纲解读】 1．函数单调性的定义； 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 【重点知识梳理】 一、函数的单调性 1.函数的单调性是局部性质 从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 【注意】单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 二、函数单调性的判断 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明； (2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 例1．判断函数g(x)＝在 (1，＋∞)上的单调性． 三、求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 例2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是 (　　) A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞) 四、单调性的应用 主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用． 例3．(1)函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f(x)＝－(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a＝__________. 【高频考点突破】 考点一　函数单调性的判断及应用　　 例1　讨论f(x)＝ax＋a－x(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上的单调性． 【点评】用定义证明函数的单调性，要严格按照定义的步骤来进行，其中关键的一步是对f(x2)－f(x1)作变形，变形的目的是能够判断f(x2)－f(x1)的符号，常用的变形方法有：(1)多项式因式分解或配方；(2)分式通分后分子、分母因式分解；(3)根式有理化；(4)幂、指数、对数要运用各自的运算法则． 【归纳总结】①函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的． ②判断函数单调性的方法有：定义法，图象法，导数法，利用已知函数的单调性．证明函数的单调性的方法有：定义法，导数法． 【变式探究1】证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数． 【变式探究2】 讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性。 考点二　求函数的单调区间　　 例2、求出下列函数的单调区间： (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝log2(x2－1)． 【点评】(1)是利用函数图象求单调区间，一般来说，用定义不易判断单调性，而图象又较易作出时，可以用图象法求单调区间；(2)是复合函数的单调性问题，将一个函数“拆分”成几个简单函数，利用复合函数单调性的判断规则判断． 【归纳总结】 ①复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数． ②区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．如函数y＝x2的单调递增区间是(0，＋∞)，在(0，2)上递增，但不能说区间(0，2)是该函数的递增区间． ③若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数．如函数f(x)＝. 【变式探究2】(1)给定函数①y＝；②y＝log0.5(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是________． (2) 若函数f(x)＝|2x＋a