专题一平面向量的概念及线性运算.doc

专题一：平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有又有的量；向量的大小叫做向量的 平面向量是自由向量 零向量 长度为的向量；其方向是任意的 记作 单位向量 长度等于的向量 非零向量a的单位向量为 平行向量 方向或的非零向量 0与任一向量或共线 共线向量 的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度且方向的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度且方向的向量 0的相反向量为 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　) A．2－ B．－＋2C.－ D．－＋ 3．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________． 4．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________.(用a，b表示) 题型一　平面向量的概念 例1　给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 　下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线； ④如果a∥b，b∥c，那么a∥c； ⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 题型二　平面向量的线性运算 例2　(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　) A.－B.＋C.＋D.－ (2)在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　) A.b＋c B.c－bC.b－c D.b＋c 　(1)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　) A．0 B. C. D. (2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 题型三　共线定理的应用 例3　设两个非零向量a与b不共线， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 　如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则等于(　　) A.－ B.＋C.＋ D.－ (2)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 方程思想在平面向量的线性运算中的应用 典例：(12分)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量. A组　专项基础训练 (时间：45分钟) 1．下列说法正确的个数是(　　) ①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的． A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b等于(　　) A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9) 3．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 5．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为A