中考冲刺(三)二次函数与相似三角形答案.doc

参考答案 、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为 ∵抛物线过原点， ∴ ∴. 抛物线的解析式为,即 ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB, 由得, ∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6 将x＝6代入,得y＝－3, ∴D(6,－3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP的解析式为 由, 得 .∴P(6,－3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝≠4. ∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似. 练习、解：（1）由已知可得： 解之得，． 因而得，抛物线的解析式为：． （2）存在． 设点的坐标为，则， 要使，则有，即 解之得，． 当时，，即为点，所以得 要使，则有，即 解之得，，当时，即为点， 当时，，所以得． 故存在两个点使得与相似． 点的坐标为．（3）在中，因为．所以． 当点的坐标为时，． 所以． 因此，都是直角三角形． 又在中，因为．所以． 即有． 所以， 又因为， 所以． 练习 解：（1）与相似。 理由如下： 由折叠知，， ， 又， 。 （2），设AE=3t， 则AD=4t。 由勾股定理得DE=5t。 。 由（1），得， ， 。 在中，， ，解得t=1。 OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8）， 点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b， 解得 ，则点P的坐标为（16，0）。 （3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12， y=2x－12。 如图2：准确画出两条直线。 练习解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和， 由 解得 此二次函数的表达式为 ．（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似． 在中，令，则由，解得 ． 令，得．． 设过点的直线交于点，过点作轴于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． ． 要使或， 已有，则只需， ① 或 ② 成立． 若是①，则有． 而． 在中，由勾股定理，得． 解得 （负值舍去）． ． 点的坐标为． 将点的坐标代入中，求得． 满足条件的直线的函数表达式为． ［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］ 若是②，则有． 而． 在中，由勾股定理，得． 解得 （负值舍去）． ． 点的坐标为． 将点的坐标代入中，求得． 满足条件的直线的函数表达式为． 存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或． （3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点． 将点的坐标代入中，求得． 此直线的函数表达式为． 设点的坐标为，并代入，得． 解得（不合题意，舍去）． ． 点的坐标为． 此时，锐角． 又二次函数的对称轴为， 点关于对称轴对称的点的坐标为． 当时，锐角； 当时，锐角； 当时，锐角． 解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形 令OE=，则PE= ∴P ∵点P在抛物线上 ∴ 解得，（不合题意，舍去）∴PE= ∴四边形ACBP的面积=AB?OC+AB?PE= (3)． 假设存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 设M点的横坐标为，则M ①点M在轴左侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去） (ⅱ) 当MAG PCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ② 点M在轴右侧时，则 (ⅰ) 当AMG PCA时有= ∵AG=，MG= ∴ 解得（舍去） ∴M (ⅱ) 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） ∴M ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似 M点的坐标为，，解：（1）点， ，，点坐标为 设过点的直线的函数表达式为， 由