二次函数与方程不等式相似方程.docx

二次函数与方程、不等式、相似、方程 一、解答题（共3小题；共39.0分） 1. 如图1，已知 A3,0 、 B4,4 、原点 O0,0 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上．     (1)求抛物线的解析式；     (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点 D，求 m 的值及点 D 的坐标；     (3)如图2，若点 N 在抛物线上，且 ∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足 △POD∽△NOB 的点 P 的坐标（点 P 、 O 、 D 分别与点 N 、 O 、 B 对应）． 2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2mx+m2+m 的顶点为 C．     (1)求点 C 的坐标（用含 m 的代数式表示）；     (2)直线 y=x+2 与抛物线交于 A，B 两点，点 A 在抛物线的对称轴左侧．     ① 若 P 为直线 OC 上一动点，求 △APB 的面积；     ② 抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M，作点 B 关于直线 MC 的对称点 Bʹ．以 M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点 Q，使得 QBʹ+22QB 的值最小，则这个最小值为  ． 3. 如图，已知二次函数 y1=−x2+134x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A4,0，与 y 轴的交点为 B，过 A，B 的直线为 y2=kx+b．     (1)求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；     (2)由图象写出满足 y1y2 的自变量 x 的取值范围；     (3)在两坐标轴上是否存在点 P，使得 △ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 答案 第一部分 1. (1) ∵A3,0 、 B4,4 、 O0,0 在抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 上． ∴9a+3b+c=0,16a+4b+c=4,c=0, 解得 a=1,b=−3,c=0, 故抛物线的解析式为 y=x2−3x． 1. (2) 设直线 OB 的解析式为 y=k1xk1≠0， 由点 B4,4 得 4=4k1，解得 k1=1． ∴ 直线 OB 的解析式为 y=x， 设平移后的解析式为：y=x−m， 联立方程：y=x−m,y=x2−3x, ∵ 抛物线与平移后的直线只有一个交点， ∴Δ=16−4m=0， ∴m=4，点 D 的坐标为 2,−2 1. (3) ∵ 直线 OB 的解析式 y=x，且 A3,0． ∵ 点 A 关于直线 OB 的对称点 Aʹ 的坐标为 0,3． 设直线 AʹB 的解析式为 y=k2x+3，此直线过点 B4,4． ∴4k2+3=4， 解得 k2=14． ∴ 直线 AʹB 的解析式为 y=14x+3． ∵∠NBO=∠ABO， ∴ 点 N 在直线 AʹB 上， 设点 Nn,14n+3， 又点 N 在抛物线 y=x2−3x 上， ∴14n+3=n2−3n． 解得 n1=−34，n2=4（不合题意，舍去）， ∴ 点 N 的坐标为 −34,4516． 如图，将 △NOB 沿 x 轴翻折，得到 △N1OB1， 则 N1−34,−4516，B14,−4． ∴O 、 D 、 B1 都在直线 y=−x 上． 过点 D 作 DP1∥B1N1 交 ON1 于点 P1． ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴△P1OD∽△NOB， ∴OP1ON1=ODOB1=12， ∴P1 为 ON1 的中点． ∴ 点 P1 的坐标为 −38,−4532． 将 △P1OD 沿直线 y=−x 翻折，可得另一个满足条件的点到 x 轴距离等于 P1 到 y 轴距离，点到 y 轴距离等于 P1 到 x 轴距离， ∴ 此点坐标为 4532,38． 综上所述，点 P 的坐标为 −38,−4532 和 4532,38． 2. (1) ∵y=x2−2mx+m2+m=x−m2+m， ∴ 顶点坐标为 Cm,m． 2. (2) ① ∵y=x+2 与抛物线 y=x2−2mx+m2+m 交于 A，B 两点， ∴x+2=x2−2mx+m2+m． 解方程，得 x1=m−1，x2=m+2． ∵ 点 A 在点 B 的左侧， ∴Am−1,m+1，Bm+2,m+4． ∴AB=32． ∵ 直线 OC 的解析式为 y=x，直线 AB 的解析式为 y=x+2， ∴AB∥OC，两直线 AB，OC 之间距离 h=2． ∴S△AP