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二次函数与相似学案
第18课时 二次函数与相似学案
武汉市11初级中学 杨剑文
一、考点聚焦:
相似的基本图形在二次函数中应用比较多,如08年4月考第25题⑵⑶直接给出相似的基本图形;09年4月考第25题⑶考查相似的基本图形;10年4月考第25题⑶、10年中考第25题⑵隐含着相似的基本图形,因此同学们必须会利用相似的基本图形来解决问题;
二、基础回顾:
抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于A、B两点,交y轴于C点;
⑴点A、B、C的坐标分别为A(___,____)、B(___,____)、C(___,____);
⑵此抛物线的顶点坐标为(___,____),对称轴为直线_______;∠ABC=_______°;
三、典例解析:
例:抛物线y=ax2﹣2ax+b交x轴于A、B两点,交y轴于C点,且AB=4,OC=3OA;
⑴求抛物线的解析式;
⑵如图,问在第一象限的抛物线上是否存在一点P,使∠PCB=90°?若存在求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
方法一:设直线PC交x轴于点H,则点H(___,____),直线PC的解析式为_______;联立方程组,可得点P(___,____);
方法二:作PG⊥y轴于点G,则△_______∽△_______;设P(___,____),则______________,得点P(___,____);
⑶如图,若直线l:y=kx(k≠0)与线段BC交于点D,问是否存在这样的直线l,使得以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出直线l的解析式及点D的坐标;若不存在,请说明理由;
分析:
①要使以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似,必须满足的关系式是______________;
②联想∠ABC=_______°,可考虑添加辅助线_______,进而求得点D(___,____)和直线l的解析式______________;
⑷如图,若点A关于y轴的对称点为D,问在第一象限内的抛物线上是否存在一点P,使得∠PCB=∠DCO,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
分析:
①延长CP交x轴于点Q,则由∠PCB=∠DCO,可得∠_______=∠_______;进而△_______∽△_______;∴G(___,____);
②直线PC的解析式为______________,解方程组,可得点P(___,____);
⑸如图,设抛物线的的顶点为E,并将直线CE向下平移,交抛物线于P、Q两点(点P在点Q的右边),当时,求点P的坐标;
分析:①点E(___,____);
②联想,怎样构建相似三角形:____________;
⑹如图,点E为抛物线的顶点,问在y轴上是否存在一点P,使得△PEB为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
分析:
①△PEB为直角三角形,可能有_______种情况,它们分别是____________________________;
②若点_______为直角顶点,可作辅助线______________;
③若点_______为直角顶点,可作辅助线______________;
④若点_______为直角顶点,可作辅助线______________;
四、方法提炼:
⑴熟练运用相似基本图形解题;
⑵存在性问题的解决方法,可先假设存在,然后再假设的前提下,根据条件解决,最后要验证;
⑶求点的坐标的方法,常采用联立方程组求交点,直接用几何方法亦可;
⑷求以某一线段为边构造直角三角形时,要分类讨论,若此线段为斜边,可转化为以此线段为直径的圆来解决;
五、同步巩固
如图,抛物线y=x2+3x+4交x轴于A、B两点,交y轴于C点,问在第一象限的抛物线上否存在D点,使∠DCB=90°?若存在,求D点的坐标,若不存在,请说明理由.
如图,抛物线y=x24x+3交x轴于A、B两点,交y轴于C点,P点在第一象限的抛物线上,∠OCA =∠PCB求P点的坐标
六、课外提升
抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于C点,其顶点的横坐标为1,且过(2,3)和(-3,-12)
⑴求抛物线的解析式;
⑵设点D为第一象限抛物线上一点,DE⊥x轴交BC于F,连接DC,若ΔCDF与ΔBEF相似,求点D的坐标;
⑶点M为轴负半轴上一点,在第一象限的抛物线上是否存在点N,使AN平行且等于BM的一半?若存在,求出N点的坐标,若不存在,请说明理由;
⑷P为第一象限抛物线上一动点,以P为顶点,PB为腰作等腰RtΔBPQ(点B,P,Q按顺时针顺序),M,N分别为BC,BQ的中点,当P点在抛物线上运动时,线段OP与线段MN是否存在某种确定的数量关系?若存在,写出并
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