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二次函数背景下的三角形相似
第一课时:二次函数背景下的三角形相似
上海市三墩学校 张小兰
复习目标:
1、掌握二次函数的基本性质,会求它的解析式及相关点的坐标。
2、在二次函数背景下灵活运用相似三角形的判定与性质解决几何问题,逐步领会数形结合、转化、分类讨论等数学思想。
3、通过积极参与数学学习和解决问题的活动,初步养成积极探究的态度、独立思考的习惯和团队合作的精神。
复习重点:
把复杂图形简单化,在二次函数背景下灵活运用相似三角形的判定与性质,对几何综合题的解题方法的探究。
复习难点:
体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想,提高解综合题的能力。
教学过程:
一、
中考卷上的第24题通常是一道综合解答题,一般体现在:代数与几何的综合、思想方法与不同层次数学能力的综合。下表是二次函数与几何的综合题在近几年中考卷中的比重分析:
中考日期 试题序号 函数类型 分值 2005年中考 22题 二次函数 10=5+5 2006年中考 24题 二次函数 12=5+3+4 2007年中考 22题 二次函数 12=6+6 2008年中考 24题 二次函数 12=5+7 2010年中考 24题 二次函数 12=6+6 2011年中考 24题 二次函数 12=4+4+4 2012年中考 24题 二次函数 12=3+5+4 那么常见的数学思想有:
(1)分类讨论思想 代表性题型:动态几何问题,存在性问题讨论。
(2)数形结合思想(灵活运用几何性质) 代表性题型:函数与几何综合题。
(3)转化思想 代表性题型:面积问题,函数图像与坐标轴或与另一图像的交点,点到点、点到线的距离问题。
二、两个三角形相似,已有三组角对应相等
例1:已知二次函数的图像经过点A(-3,6),顶点为P,并与x轴交于B、C两点(点B在点C的左边)。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)根据(1)中所求的解析式,试判断△PBC的形状,并说明理由;
(3)设点D在线段OC上,且满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标。
练习1:已知二次函数的图像经过点A(-1,3)和B(2,0),直线AB交y轴于点C,二次函数图像的顶点为D。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若点P在射线AB上(不与点C重合),且△AOC∽△APO,试求点P的坐标。
三、两个三角形相似,只有一组角对应相等
例2:如图,直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,S△OAB=16,抛物线经过A,顶点M在直线上。
(1)求n的值
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果抛物线的对称轴与x轴交于点N,那么在对称轴上找一点P,使得△OPN和△AMN相似,求P的坐标。
练习2:在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(1,3),B(0,1)。
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C,
①求△ABC的面积;
②在y轴上取一点P,使△ABP与△ABC相似,求满足条件的所有P点的坐标。
四、巩固练习
五、小结
六、课后作业
第二课时:二次函数背景下的直角三角形、等腰三角形
(题目供参考)
1、如图,已知二次函数y的图象与y轴交于点A,与轴交于B、C两点,其对称轴与轴交于点D,连接AC.(1)点A的坐标为 ,点C的坐标为 ;
(2)线AC上是否存在点E,使得△EDC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(四川省乐山市)如图1,抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tanOAC=2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使APC是直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
湖北省荆门市)已知:如图一次函数x+1的图象与x轴交于点A,与轴交于点B;二次函数x 2+bx+c的图象与一次函数x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为1,0求二次函数的解析式;
求四边形BDEC的面积S;
在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
与轴、轴分别交于A、B两点,点P是线段AB的中点,抛物线经过点A、P、O(原点)。 (1)求过A、P、O的抛物线解析式;
(2)在(1)中所得到的抛物线上,是否存在一点Q,使∠QAO=450,如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由
5.(甘肃省张掖市)如图,抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,BC∥x轴,点A在x轴上,点C在∠CAO,P是抛物线对称轴上的动点
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