全国理数III卷17-19题解析.doc

2016年全国理数III卷17题详解 17.已知数列的前项各,其中 (I)证明是等比数列,并求其通项公式; (II)若,求. 解析: 1. 相关知识要领: ①数列的通项公式 如果数列{a的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式． ②已知数列{a的前n项和S则an＝ ③等比数列的定义 如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2为非零常数)或＝q(n∈N为非零常数)． ④等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{a的首项为a公比是q则其通项公式为aa1qn－1； 通项公式的推广：a＝a－m (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时＝na；当时＝＝ ⑤等比数列及前n项和的性质 (1)如果a成等比数列那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?成等比数列?＝ab(2)若{a为等比数列且k＋l＝m＋n(kN*)，则a＝a (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列即a＋m＋2m仍是等比数列公比为q (4)当q≠－1或q＝－1且n为奇数时－S－S仍成等比数列其公比为q 2.依题意得,故 由,得,即 由得. 所以. 所以是首项为,公比为的等比数列,于是 . 3.由2得.且得,即, 解得. 2016年全国理数III卷18题详解 18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理(单位:亿吨)的折线图. 由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明; 建立与的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 参考数据: ,,, 参考公式:相关系数 回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为: ,. 解析: 1. 相关知识要领: ①变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系另一类是相关关系；与函数关系不同相关关系是一种非确定性关系． (2)从散点图上看点散布在从左下角到右上角的区域内两个变量的这种相关关系称为正相关点散布在左上角到右下角的区域内两个变量的相关关系为负相关． ②回 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报． (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近就称这两个变量之间具有线性相关关系这条直线叫做回归直线． (2)回归直线方程的求法——最小二乘法． 设具有线性相关关系的两个变量x的一组观察值为(x)(i＝1…，n)，则回归直线方程＝＋的系数为： 其中＝＝(，)称为样本点的中心． (3)相关系数 当r＞0时表明两个变量正相关； 当r＜0时表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1表明两个变量的线性相关性越强． 的绝对值越接近于0表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时认为两个变量有很强的线性相关性．① ② ③ ④ ⑤= 因为与的相关系数近似为0.99,说明与的相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系. 3. 由2知: , , , ==2.89. = =1.331 所以, 与的回归方程为: =0.92+0.10. 将2016年对应的代入回归方程得: =0.92+0.10 所以预测2016年我国生活垃圾处理量将约为1.82吨. 2016年全国理数III卷19题详解 19.如图,四棱锥中,底面∥ .为线段上一点, 为中点. (I)证明∥平面; (II)求直线与平面所成角的正弦值. 解析: 1. 相关知识要领: ①直线与平面平行的判定:平面外一条直线平行于平面内一条直线,这条直线平行于这个平面.即∥∥. ②在解决线面、面面平行的判定时一般遵循从“低维”到“高维”的转化其转化关系为 在应用性质定理时其顺序恰好相反但也要注意转化的方向总是由题目的具体条件而定决不可过于“模式化”． ③直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈ ④空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a)，b＝(b). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a＋a＋a 共线 a＝λb(b≠0) a＝λb＝λb＝λb 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a＋a＝0 模 |a| 夹角 〈a〉(a≠0b≠0) cos〈a〉＝ ⑤直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线是直线l上任意两点则称为直线l的方向向量与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2a，b是平面α内两不共