北航数分大作业三.docx

一、算法的设计方案 1、对于已给出的非线性方程组，其解集可采用牛顿迭代法进行求解。在每次迭代过程中，将x，y的值固定，如此便可得到一组关于t，u，v，w的解。因此可以建立一组（x，y）和（t，u）一一对应的关系。2、采用分片二次插值对题目中所给出的z，t，u二维数表进行处理。于是在 0≤t≤1, 0≤u≤2 的矩形区域就建立了 z 与(t,u)的一一对应关系。其中选择（m，n）满足，。 3、对 ， 。分别使用前两步算法，可得到一组的数表。 4、采用最小二乘拟合，设，m=10 n=20，M=N=K。插值基函数 ，。U即为上面所求的Z[11][21]。为避免计算过程中出现矩阵求逆，将改为，再利用高斯消去法以作为系数矩阵，的每一列作为非线性部分，分别解出A的每一列。在将改为，然后利用高斯消元法以作为系数矩阵，的每一行作为非线性部分，分解出C的每一行。如此便得到了最小二乘拟合的系数矩阵C。 5、在对精度进行计算时将k=1，计算使用最小二乘拟合求出系数矩阵C，然后根据求出，而也即为上面所求的。如此便可求出达到要求精度的最小k值。二、源程序#include stdio.h#include math.h#define N 4#define eps 1e-12 //定义精度#define MAX 10double norm8(double *X){ //求向量的无穷范数 int i; double sum=fabs(X[0]); for(i=1;iN;i++) if(sumfabs(X[i])) sum=fabs(X[i]); return sum;}void Guass(double a[][MAX] ,double *b,double *X,int step){ //选主元的高斯消元法 int i,j,k,loc; double m,sum,max,temp; double A[MAX][MAX]; //备份 a，b 防止运算后 a，b 的值发生改变 double B[MAX]; for(i=0;istep;i++){ for(j=0;jstep;j++) A[i][j]=a[i][j]; B[i]=b[i];}for(k=0;kstep-1;k++){ max=fabs(A[k][k]); loc=k; //找主元 for(j=k+1;jstep;j++) //找每列绝对值最大元 if(fabs(A[j][k])max) {loc=j;max=fabs(A[j][k]);} if(loc!=k){ for(i=k;istep;i++){ temp=A[loc][i];A[loc][i]=A[k][i];A[k][i]=temp; } temp=B[loc];B[loc]=B[k];B[k]=temp;} for(i=k+1;istep;i++) //消去{ m=A[i][k]/A[k][k]; A[i][k]=0; for(j=k+1;jstep;j++) A[i][j]=A[i][j]-m*A[k][j]; B[i]-=m*B[k];}}X[step-1]=B[step-1]/A[step-1][step-1]; for(i=step-2;i=0;i--){ sum=0; for(j=i+1;jstep;j++) sum+=A[i][j]*X[j]; X[i]=(B[i]-sum)/A[i][i]; } }/*牛顿迭代法，求解非线性的方程组*/void Newton(double x,double y,double *tuvw){ int i,j; double DF[N][MAX]; double F[N],delta[N]; for(i=0;iN;i++) tuvw[i]=1;delta[0]=1; for(i=0;iN;i++){ for(j=0;jN;j++) DF[i][j]=1; DF[i][i]=0; } DF[2][0]=0.5; DF[3][1]=0.5; while((norm8(delta)/norm8(tuvw))eps){ //F(x) F[0]=0.5*cos(tuvw[0])+tuvw[1]+tuvw[2]+tuvw[3]-x-2.67; F[1]=tuvw[0]+0.5*sin(tuvw[1])+tuvw[2]+tuvw[3]-y-1.07; F[2]=0.5*tuvw[0]+tuvw[1]+cos(tuvw[2])+tuvw[3]-x-3.74; F[3]=tuvw[0]+0.5*tuvw[1]+tuvw[2]+sin(tuvw[3])-y-0.79; //DF[] DF[0][0]=-0.5*sin(tuvw[0]); DF[1][1]=0.5*cos(