千题百炼高考数学100个热点问题(一)第15炼求函数的单调区间Word版含解析.doc

第15炼 函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设的定义域为，区间，若对于，有，则称在上单调递增，称为单调递增区间。若对于，有，则称在上单调递减，称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数在可导，那么在上单调递增 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内。 （2）函数在可导，则在上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等。如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 （1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内） （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用： ①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于而言，决定的是的单调性。当时，单调递增，意味着随的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率随的增大而增大；同理，当时，单调递减，则切线斜率随的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？ 单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说是决定函数单调性的，那么在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。 （1）当，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数 （2）当，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数 ②代数意义：当通过无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题： 例1：下列函数中，在上为增函数的是 B. C. D. 思路：本题只需分析各个函数在上的单调性即可A选项通过其图像可知显然在不单调B选项当时，所以在单调递增可得在单调递减在单调递增D选项可得在单调递在单调递减综上B符合条件的单调递增区间是 B. C. D. 思路：先分析的定义域，再观察解析式可得可视为函数的复合函数根据复合函数单调性同增异减的特点可分别分析两个函数的单调性对于而言对是减函数所以如要求得增区间则中对也应为减函数结合定义域可得的单调增区间为 的单调区间（2009宁夏，21题（1）） 思路：第一步：先确定定义域，定义域为， 第二步：求导： , 第三步：令,即 第四步：处理恒正恒负的因式，可得 第五步：求解,列出表格 例4：求函数的单调区间 解：定