向量的线性运算数乘.doc

向量的线性运算：向量的数乘 教学目标： 理解向量数乘出发做匀速直线运动，若经过1的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过3的位移所对应的向量可用3来表示。 ●这里，3是何种运算的结果？ 二、研探新知 1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数与向量的积是一个向量，记作， 它的长度与方向规定如下：（1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反； 当 时，．（请学生自己解释其几何意义）实数与向量相乘，叫做向量的数乘 2．实数与向量的积的运算律： （1）（结合律）； ① （2）（第一分配律）； ② （3）（第二分配律）． ③ 例1已知向量和向量，求作向量和向量2-3。 例2.计算：（1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2) 【思考】：向量数乘有哪些相同点和不同点？ 练习：（1）计算：（1）； （2）； （3）． （2）（教材）练习1至5题 例3. 如图，设M、N、P是三角形ABC三边上的点，且，，， 设，试求关于的表达式。 【探索】：（师生共同分析向量共线的充要条件）对于向量（）、， 如果有一个实数，使得，那么与共线吗？ 如果与共线，是否存在一个实数，使？ 定理：向量 (()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使=． 【思考】：为什么要求是非零的？ 例4如图，分别为的边 和中点，求证：与共线，并将用线性表示。 例5 ：判断下列各题中的向量是否共线： （1），； （2），，且，共线． 例6（1）：已知，求证： 与是共线向量。 （2）：已知，求证：M、P、Q三点共线。 例7：如图，中，为直线上一点， 求证： 【思考】：上例所证的结论表明：起点为，终点为直线上一点的向量可以用表示，那么两个不共线的向量可以表示平面内任一向量吗？ 例8： 已知存在不全为0的实数使得，求证： 与是共线向量。 （2）已知与是不共线向量，且实数满足，求证： 四、练习： 1．已知，求证：A、B、D三点共线。 2．已知与是平面内两个不共线向量，， 试用与表示。 3．已知与是不共线向量，，若与是共线向量， 求实数的值。 4．若存在两个实数，且使得，求证：A、B、C三点共线。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B A O C E C A D B