向量组以及线性相关性.doc

资料考点大提纲 请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。 注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 向量组的基本概念. 向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 向量的线性相关性的概念： 线性组合的概念 线性表出的概念 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 向量的线性相关无关的基本判定方式： 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn线性表出 ? 非齐次线性方程组 有解 ?. ii 向量组α1，α2，…，αn线性相关?齐次线性方程组有解?.(这里注意一下:如果向量组构成的矩阵是方阵，我们可以直接求行列式的值，看是否为0来判断相关性) iii. 向量组B可以被向量组A表示： r(A) ≥r(B). iv. m个n维向量( m=n )必定相关. r(A)n,A向量( n为向量个数 )组必定相关. v 部分无关 → 整体无关，整体相关 → 部分相关. vi 向量组A线性相关的充分必要条件是向量组总存在一个向量可由其余向量线性表出. vii 若 α1，α2，……，αn 无关，α1，α2，……，αn，β相关，那么β可由α1，α2，……，αn线性表出，且表出法唯一. 极大无关组的概念，等价向量组的概念. 6.用初等变换来求一个向量组的极大无关组，并且用极大无关组来表示其他向量。 7.有关的重要公式或定理： 三秩相等 初等变换不改变矩阵的秩 等价的矩阵秩相等，反之相等的矩阵等价 如果A只经过初等行变换为B，那么A,B行向量组等价. 8.有关秩的等式和不等式: A为m×n的矩阵，B是满足相应运算的矩阵 r（A） = min(m,n) r(A+B) = r(A)+r(B) r(AB)=min( r(A),r(B) ) r(AB)=r(A)+r(B)-n (注：这公式常和上面公式连用，来确定r(AB)的值) r(A*)= (A为n阶方阵) 用矩阵乘法来表示线性关系： 假如， 那么 在做题中把B这样表示既可以体现A,B之间的关系，又可以去利用题目中A矩阵的一些性质。从而可以把抽象矩阵B化简变形. 基本考点： （求参类问题前面已有概述，后面资料不予多做讲解，主要就是利用题目告诉的关系和性质对参数列出等式方程或者不等式从而得出结果） 1.抽象向量组的线性相关性的判定. 这种题目相对较难，运用的技巧性较多，一般有这几种题目： 告诉你A向量组的线性相关性，然后给出你A,B向量组的关系，让你判断B向量组的线性相关性. 告诉你一个向量α满足的性质，然后由α变形组成的向量组A，让你判断A向量组的线性相关性. 方法:( 假设所判断的向量组A为(α1，α2，……，αn ) )这类题一般直接就是设出k1、k2、…、kn，然后列出等式k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，然后根据题目中给出的关系式，逐步的将上述等式向题目中给出的条件转化变形，逐步证明k1、k2、…、kn 都等于0 或不全为 0. 例：设α1，α2，β1，β2，β3都是n维向量(n=3)，且β1 =α1+α2， β2=α1-2α2，β3=3α1+2α2.求证：向量组β1，β2，β3相关. 解析：我们按照方法来先设出k1、k2、k3列出等式.k1*β1+k2*β2+k3*β3=0 带入题目条件：k1*( α1+α2 )+k2*( α1-2α2 )+k3*( 3α1+2α2. )=0; 化简整理：(k1+k2+3k3)α1+(k1-2k2+2k3)α2=0. 无论α1,α2是否相关，只要系数为0 上式成立。那么列出向量组。解出有非零解。说明相关。 例：设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使得有解向量α，且 证明：α，Aα，…，α 线性无关. 解析：我们按照方法来先设出k1、k2、…、kn列出等式 k1*α+k2*Aα+…+kn*α=0,我们来利用条件。上式左乘，则有 k1*α=0,则有k1=0，同理可以求出其他ki都 等于0，所以无关. 求向量组的极大无关组 这类的题目有具体矩阵也有抽象矩阵。 具体的矩阵直接用初等行变换化成最简形就可以确定极大无关组了( 具体方法见教材 )。 如果是抽象矩阵呢？一般求抽象矩阵的极大无关组，题目中会给出一系列条件，一般我们是先通过条件求出这个抽象向量组的秩也就是极大无关组里向量的个数，然后利用其他性质变形得到向量组中某些向量相关，逐步排除这些已经相关的向量。最后剩下的就是极大无关组了. 例：设其中c1为任意不为0常数,求极大无关组. 解析: 这是具体的矩阵，显然将四个向量联立成矩阵，初等行变换成最简形，取非零行第一个非零元所在列的对应向量即是极大无关组. 例：设A=是4阶矩阵，若是方程组Ax=0的一