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图像处理20122314023孙正明
滨江学院
图像处理
题 目 论正交变换的理论基础及其在图像处理中的运用
院 系 滨江学院理学系
专 业 信息与计算科学
学生姓名 孙正明
学 号 20122314023
指导教师 张辉
二0 一四 年 十二 月 二十四日
正交变换的概述
信号的正交分解
完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,φ1 ,φ2 , ?,φn 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即
X= (式2-1)
式(2-1)中a1 , a2 , ?, an 是分解系数, 它们是一组离散值。假设φ1 ,φ2 , ?,φn是一组两两互相正交的向量,则式(2-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a1 , a2 , ?, aN 是x在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图2-1 所示。
信号的正交分解
正交变换的定义
一维序列
可以表示成一个N维向量
其酉变换可以表示为 或 ,
其中变换矩阵A满足(酉矩阵),若A为实数阵,则满足,称为正交阵。
向量
由此,U可以表示为 或
可知,给定基向量 ,原序列f(x)可以由一组系数g(u)()表示,这组系数(变换)可以用于滤波,数据压缩,特征提取等。
若矩阵
满足:
则矩阵A就成为正交矩阵。
对于某向量f,用上述正交矩阵进行运算:
若要恢复f,则
以上过程称为正交变换(酉变换)。
正交变换的分类
正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。非正弦类变换包括Walsh —Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。
除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L变换和正交小波变换。K-L变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。
正交变换的标准基图像
由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数, mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。如前面的讲述,取8×8 的小方块来进行二维DCT 变换。假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 ×8 的二维矩阵。则有
设G= W T ,则式(2-12) 变为: f = G ·F ·W 。将右边前两个矩阵乘积展开有:
这里的{G( i , :) , f ( : , j) }表示G的第i 行与F的第j 列所有元素对应相乘再求和。实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。即:
再设T = W T ·F, 则f ( X , Y ) 中任意位置( x0, y0 ) 的值有:
)
将上式与式(2-12) 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应频率上的分量, G(x0 ,j)·W(j,y0)就是F( i ,j)对应的标准基图像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素数值,即:
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