常州市2014届高三第一次模拟考试数学.docx

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题 2014年1月 参考公式： 样本数据，，… ，的方差，其中=．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．设集合，，则= ▲ ． 若（，i为虚数单位），则的值为 ▲ ． 已知双曲线的一条渐近线方程为，则a的值为 ▲ ． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．函数的最小正周期为 ▲ ． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．已知实数，满足约束条件则的最大值为 ▲ ．若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ． 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲．已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．已知函数f(x)＝若，则实数k的取值范围为 ▲ ．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则 ▲．在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为 ▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，． （1）若，，求角A； （2）若，，求的值．（第16题）16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，E，F分别是，的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面⊥平面；（3）若，求三棱锥的体积．17．（本小题满分14分） 设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，． （1）求数列的通项公式；（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．（第18题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且． （1）求椭圆E的标准方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元．假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，．设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求关于销售价格的函数关系式；（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数，．（1）当时，求函数的极大值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：．常州市教育学会学生学业水平监测 数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21-A题）A．选修4—1：几何证明选讲 如图，等腰梯形ABCD内接于⊙，AB∥CD．过点A作⊙的切线交CD的延长线于点E． 求证：∠DAE=∠BAC. B．选修4—2：矩阵与变换 已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a的值． C．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线l的距离．D．选修4—5：不等式选讲已知，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)（第22题）如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD．（1）若，求异面直线PA与CD所成