平面向量的线性运算练习.doc

一、知识介绍 1、向量的加法： 如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+= 2、向量加法的三角形法则： 首尾相接：第二个向量要以第一个向量的终点为起点，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如上图3。（向量减法的三角形法则类似） 3、向量加法的平行四边形法则： 如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 5、相关概念： （1）零向量： 性质：A、零向量的相反向量是零向量；B、零向量与任意向量都平行 （2）单位向量：规定长度为1的向量 （3）相等向量： （4）相反向量：方向相反，长度相等 （5）共起点向量： （6）共终点向量： （7）共线向量（平行向量）：如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa。 6、实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下(1)|λa|=|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 7、向量的模：向量的长度 8、向量的分解： （用到的知识点包括平行四边形法则和三角形法则，实数与向量的积，共线向量，模） 例1.已知向量，和， 求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在，方向上的分向量。 例2.已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。直线PQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设=,=。分别求，，关于，的分解式。 例3、在三角形ABC中，已知=，=，G是重心，请写出关于，的分解式。 9、运算法则： （1）交换律： 如图5，作=a，=b，以AD为邻边作CD，则=b，=a因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a如图6，因为=+=(+)+=(a+b)+c， =+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)化简(1)+ (2)++ (3)++++ 2、已知正方形D的边长为1，=a，=c，=b，则|a+b+c|为( )。 A.0B.3 C. D.2 3、设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。 a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|＜|a|+|b||a+b|=|a|+|b|。 A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤ 4、如图7，D、E、F分别是ABC的边、、的中点，则-等于( )。 A B. C. D. 5、下列式子中不能化简为的是( )。 A.(+)+B.(+)+(+) C. D.-+ 6、设两非零向量不共线，且与共线，则k的值为( )。 A.1B.-1 C.±1 D.0 8、平行四边形中，对角线交于点，设 （1）用的线性组合表示； （2）用的线性组合表示 9、在梯形中，，设 （1）用的线性组合表示求； （2）用的线性组合表示求 课堂练习 1、已知ABC的重心为G，O为坐标原点，=a，=b，=c，求证：=(a+b+c)在ABC，=，，交于F，设=a，=b，则用a、b表示的形式是= 3、下面给出四个命题： 对于实数和向量、恒有： 对于实数、和向量，恒有 若，则有 若，则 其中正确命题的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4、若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向 ； 此时 ． 5、已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④ ．其中正确的等式的序号为（ ） 6、在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示） 7、如图，在⊿中，分别是的中点，交于点， 设 （１）、表示 （２）用向量的线性组合表示 8.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④ ．其中正确的等式的个数为 9.D、E、F是的边AB、BC、CA的中点， 则= 10.化简：= ． 12.如图，ABCD是一个梯形，