必修4-第二章-平面向量的基本概念及线性运算.doc

2.1平面向量的实际背景及基本概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 表示，其中A为起点，B为终点。有向线段的方向表示向量的方向；有向线段的长度表示向量的大小；用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系． ②向量的大小叫做向量的长度或模，记做。 零向量 长度为零的向量 单位向量 长度等于1个单位的向量 平行向量共线向量 方向相同或相反的非零向量 ，这是由于当为零向量时，可以是任意向量； 非零向量的平行具备传递性 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 题型一、平面向量的概念辨析 例1. 下列说法中正确的是 ① 非零向量与非零向量共线，向量与非零向量共线，则向量与向量共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角； ④ 零向量模为0，没有方向； ⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等； ⑦ 若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。 ⑧ 两相等向量若起点相同,则终点也相同； ⑨若，,则； ⑩向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【答案】①⑥① 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的； ②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上； ③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角； ④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； ⑤ 向量是否共线与始点位置无关； ⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同； ⑦共线向量即平行向量，非零向量与是共线向量，可能A、B、C、D四点共线，也可能AB、CD平行。 ⑧正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合； 题型二 相等向量与共线向量问题 寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等向量，再确定哪些是同向的。 寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向或反向的向量。 例2. 已知四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，设点集M=｛A，B，C，D，O｝，向量集合 T=,求集合T中的元素的个数。 【解析】注意集合中元素互异性的特征，相等向量在向量集合中只能算一个元素。 以A,B,C,D,O为起点的向量共20个，但其中存在如下相等向量：A0=0C,OA=CO,OD=BO,DO=OB,AD=BC,DA=CB,AB=DC,BA=CD,故20个向量中有12个不相等的向量，因此T中有12个元素。 例3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（　　） A．2个B．3个C．6个D．9个 观察图形，结合共线向量的定义知：向量共线的向量有AOBC,CB,OD,DO,EF,FE,AD,DA共9个 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 减法 求两个向量 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 【与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量】 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 如图，正六边形ABCDEF中，＋＋等于 (　　) A．0 B. C. D. ②正六边形ABCDEF中a，b　如图，以向量＝a，＝b为邻边作OADB，＝，＝，用a，b表示，，. ∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b. 又∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则(用b表示)． ∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c. 在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________(用a，b表示)． 　由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，则＝_________(用a，b表示)． E、F分别为AC、AB的中点，△ABC的重心＝＋＝＋＝＋(＋)＝=+＝a＋b. ⑤如图所示