数学竞赛学案第13章学案71.doc

学案71　矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换 导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质． 自主梳理 1．线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系xOy中，由(其中a，b，c，d是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为________，其中a，b，c，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分别为元素aij所在的行和列)． 2．矩阵的乘法 行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律． 3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M＝； (2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝____________； (4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k1，k2均为非零常数； (5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝__________； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝__________，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝.(其中k为非零常数)． 4．线性变换的基本性质 设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α＋β＝__________. (1)设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则M(λα)＝__________，M(α＋β)＝______________________________. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．自我检测 1．点A(3，－6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标是________． 2．设＝，则它表示的方程组为______________． 3．设矩阵A＝，矩阵A所确定的变换将点P(x，y)变换成点Q，则Q点的坐标为________． 4．设OAB的三个点坐标为O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M＝对应的变换下作用后形成OA′B′，则OAB与OA′B′的面积之比为____________________． 5．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M； (2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求l的方程． 探究点一　几种常见的变换 例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换． (1)，方程为y＝2x＋2； (2)，点A(2,5)； (3)，曲线方程为x2＋y2＝4. 变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为________． 探究点二　矩阵的乘法及几何意义例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释： ＝. 变式迁移2 已知矩阵M＝和N＝，求证：MN＝NM. 探究点三　矩阵与变换的综合应用 例3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M＝，航空可用矩阵表示为N＝. (1)试从NM的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？ (2)请计算M2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？ (3)请计算MNM，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？ 变式迁移3 已知A＝，B＝，试求AB，并对其几何意义给予解释． 1．常见的变换矩阵 (1)恒等变换矩阵为M＝；(2)伸压变换矩阵为M＝或M＝；(3)反射变换矩阵为M1＝，M2＝，M3＝；(4)旋转变换矩阵为M＝；(5)投影变换矩阵为M1＝，M2＝，M3＝；(6)切变变换矩阵为M＝或M＝. 2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律． 设A＝，B＝，则AB＝. (满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．矩阵(左)乘向量的法则是________． 2．(2010·龙岩一模)在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为________． 3．直线2x＋y