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武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》考试试题及答案(A卷)
武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》试题
(A卷)
一、(30 分)试解下列各题:
1、(6分)求解微分方程满足的特解。
2、(6分)求曲面在点处的切平面方程。
3、(6分)已知级数在处收敛,试讨论此级数在处的敛散性。
4、(6分)计算,其中由所围成的区域。
5、(6分)判别级数的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
二、(10分)函数由方程所确定, 是不全为零的常数,证明:
。
三、(12分)设,而,其中二阶可导,求。
四、(10分)试将函数展成的幂级数。
五、(10分)设
(1)求在点处的梯度及方向导数的最大值;
(2)问:在哪些点的梯度垂直于轴。
六、(10分)计算曲面积分 ,其中为曲面 ,取下侧。
七、(10分)设函数具有连续的二阶导数,并使曲线积分与路径无关,求函数。
八、(8分)将正数分为正数之和,使得最大(其中为已知正数)。
武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学B2》试题A参考解答
一、(30分)试解下列各题:
1、(6分)求解微分方程满足的特解。
解:由,得,即
而,故
2、(6分)求曲面在点处的切平面方程。
解 设
故曲面在点处的切平面的法向量为: 所以切平面方程为:
3、(6分)已知级数在处收敛,试讨论此级数在处的敛散性。
解 由阿贝尔定理知,此级数在即时绝对收敛,故此级数在处绝对收敛。
4、(6分)计算,其中由所围成的区域。
解:由对称性,
5、(6分)判别级数的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解:,由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛,故原级数绝对收敛.
二、(10 分) 函数由方程所确定, 是不全为零的常数,证明:
证明:方程两边同时对求偏导得
故
三、(12分)设,而,其中二阶可导,求。
解 因为 所以
四、 (10分)试将函数展成的幂级数.
解 因为 ,则得
(也可利用求解)
五、(10分)设
(1)求在点处的梯度及方向导数的最大值;
(2)问:在哪些点的梯度垂直于轴。
解 (1) 由
故 所以在点处方向导数的最大值为:
(2)由,而轴,即,由此得:
所以平面上的点处的梯度垂直于轴。
六、(10分)计算曲面积分 ,其中为曲面 ,取下侧.
解:取平面,取上侧.则与构成封闭曲面,取外侧.令与所围空间区域为,由Gauss公式,得
七、(10分)设函数具有连续的二阶导数,并使曲线积分与路径无关,求函数。
解 由题意得: 即
特征方程,特征根 对应齐次方程的通解为:
又因为是特征根。故其特解可设为: 代入方程并整理得: 即
故所求函数为:
八、(8分)将正数分为正数之和,使得最大。(其中为已知正数)
解法一 化为无条件极值求解,即求的极值。
令 即
解之得 , 再由 求得 。
当,或或时,均为0,不可能为最大,故将分成的三个正数为,,。
解法二 利用拉格朗日乘数法求解.作函数
令 及
将(1),(2),(3)中之移至等式右端,记为然后由得
得 并将其代入(4),从而得到所求三个正数为
,,。
解法三 因为,故当最大时也最大。利用拉格朗日乘数法,作函数
令 及 (4)
由(1),(2)得由(2),(3)得并代入(4),从而得,,
经济与管理学院第六届团支书联席会期末复习宝典
2
由各班团支书搜集,团支书联席会秘书长蒋润珠,副秘书长董叶子、杨梦楠、周家伊、朱怡哲整理。
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