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浅谈三角形中位线定理的几种证法 康园中学校 张瑜 摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。 关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证：DE‖BC，DE=BC。 一、类型一：动手操作法 方法1：度量法 华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用直尺分别量出DE、BC的长，看是否满足DE=BC，再用量角器分别量出∠ADE和∠B的度数，看是否相等，从而判断是否平行。 二、类型一：相似法 方法2：相似法一 根据AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC，从而得到△ADE∽△ABC。于是∠ADE=∠ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。轻松得到DE‖BC，DE=BC。 方法3：相似法二 过点D作DF⊥AC于F，过点B作BG⊥AC于G，则DF//BG，于是△ADF∽△ABG，得到DF=BG，AF=FG。因为AE=EC，所以FE=GC。根据DF:BG=FE:GC，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE∽△BGC，从而命题得证。 类型三：倍长法 方法4：中位线倍长法一： 这是常用的方法，也是北师大教材中使用的方法。延长DE至F，使EF=DE，连接FC，则△ADE≌△FEC，则AD//FC 且AD=FC，所以BD//FC 且BD=FC，则四边形DBCF是平行四边形。因DE=DF，则DE‖BC，DE=BC。 方法5：中位线倍长法二： 延长DE至F，使EF=DE，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，易知四边形BCFD为平行四边形，从而命题得证。 方法6：中线倍长法： 连接BE，延长BE至G，使EG=BE，连接CG，延长DE，交CG于F，则△ABE≌△CGE，得到AD//FC 易证四边形DBCF是平行四边形，从而命题得证。 类型四：平行法 方法7：外部平行一边法： 过C作CF//AB，交DE的延长线于F， 易证△ADE≌△CFE，得到DE=EF，AD=CF. 从而四边形BCFD是平行四边形， 从而命题得证。 方法8：外部平行底边法 过A作AF//BC，取BC中点为G，连接GD，延长GD，交AF于F，则△ADF≌△BDG，FD=DG，AF=BG，则AF=GC，则四边形AFGC是平行四边形，于是DG‖AC，DG=AC，则四边形DGCE是平行四边形，DE//BC，DE=GC，从而命题得证。 方法9：外部平行中位线法 过A作AF//DE，AF=DE，连接FE，延长FE，交BC于点G，则四边形AFED是平行四边形，FG//AB，从而得到BG=CG，△AEF≌△CEG，则BG=AF=DE=GC，FE=EG=AD=DB，则四边形BGED是平行四边形，从而命题得证。 方法10：内部平行一边法 过E作EF//AB，交BC于F，则△CEF∽△CAB，得到BF=FC，EF=AB=AD，∠A=∠FEC，利用“SAS”可以证明△ADE≌△EFC，得到DE=FC，∠AED=∠C，从而命题得证。 类型五：作高法 方法11：作底边高法 此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法。其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运用。首先回顾与中点有关的知识点——（1、全等；2、垂直平分线；3、等腰三角形三线合一；4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。）这时联想到第4个知识点中点但没有直角三角形，就必须构造出来，于是就要作高。过A作AF⊥BC于F，连接DF，EF。得到FD=BD=DA；FE=AE=EC。利用“SSS”证明△ADE≌△FDE，得到∠ADE=∠FDE，再运用三线合一得到AF⊥DE，再分别作DM⊥BC于F，EN⊥BC于N，于是四边形DMFG、ENFG、DMNE均为矩形，从而命题得证。 方法12：作中位线高法 分别过点向中位线作垂线因A=EC，将ADE绕点E顺时针旋转180至。DF，所以DE‖BC，DE=BC。 方法17：旋转法二 因A=EC，将ABC绕点