线性代数同济大学课件第四.pptVIP

* (2) 非齐次性线性方程组 对应的齐次线性方程组 * 例8 : 线性方程组 在三维直角坐标系中分别表示 经过原点的直线。 在三维直角坐标系中分别表示 不经过原点的平面。 和 和 * 性质1： 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 性质2： 是 的解， 是对应的齐次线性方程组 的解，则 是 的解。 * 分析: 若 有解，则其通解为 其中 是 的一个特解， 是 对应的齐次线性方程组 的通解。 1. 证明 是解； 2. 任一解都可以写成 的形式。 * 例6 : 求解非齐次方程组 解： * * 令 得 * 令 得基础解系 所以原方程组的通解是 * 例7 : 求下列方程组的通解。 解： * 令 得 得基础解系 令 所以通解是 * 例: 设 问u, v =?方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解. 解: 当u≠2时有唯一解; * 当u= 2, v≠3时, 无解; 当u = 2, v = 3时,有无穷多解; 通解 * §5 向量空间 定义：设 V 为 n 维向量的非空集合， 若 V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间． 说明: 集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 注意. 0 必是向量空间V 的元素，即 * 例：3 维向量的全体 是一个向量空间。 n 维向量的全体 也是一个向量空间。 例： 齐次线性方程组 的解集合 是一个向量空间。 不是一个向量空间。 但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合 * 例：判别下列集合是否为向量空间. * 不是向量空间。 解： 所以， 是向量空间。 * 是否为向量空间. V 称为由向量a, b生成的向量空间。 例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 解： V 是一个向量空间。 * 由向量组 所生成的向量空间为 一般地 * 定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间。 零子空间 V = { 0 } * 例. 及 都是 的子空间。 是 的子空间，称为齐次 线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。 * 定义7：设V是向量空间，如果向量 满足 线性无关。 （1） （2）V 中任一向量都可由 线性表示， 那么，就称向量组 是向量空间V 的 一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimV＝r 并称V 是 r 维向量空间。 * 注：(1)只含有零向量的向量空间{ 0 }-称为零子空间-没有 基，规定其维数为0。 (2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向 量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。 (3)向量空间的基一般不唯一。 例. 都是向量空间R3的基。 * 设 是 的一个基，x 是 中的向量， 则称有序数组 为向量 x 在基 下的坐标。 设 是 的另一个基，并且 则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基 到基 的过渡矩阵。 * §3 向量组的秩 定义1: 简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA （ii）A的任意向量都可由A0线性表示. 线性无关, （i） 那么称部分组 为向量组 A的一个最大线性无关组， 设 A为一个向量组，A的部分组 满足： 向量组 的秩也记作 * 注: （1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。 （2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。 （4）向量组 A能由A0线性表示。 （3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。 （5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。 * 例如：在向量组 中， 首先 线性无关，又 线性相关， 所以 是一个极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 * 例如： 向量组 的秩为2。 注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。 向量组 的秩为2。 * 例：设矩阵 矩阵A 的行向量组是 可以验证