线性代数课件06矩阵的秩.pptVIP

一、概念的引入 二、子式 三、矩阵的秩 四、矩阵的秩的计算 五、矩阵的秩的性质 六、小结 定理3的证明 矩阵秩的性质的证明 （2）当 时， 在 中总能找到与 相对应 的 阶子式 ，且 由于 因此 从而 （3）当 时， 由于对于变换 时结 论成立，因此只需考虑 这一特殊情形. 1) 的 阶非零子式 不包含 的第1行，这时 也是 的 阶非零子式，故 2) 的 阶非零子式 不包含 的第1行， 这时把 中与 对应的 阶子式 记作 若 ，则 ； 若 ，则 也是 的 阶子式，由 ，知 与 不同时为0，总之， 中存在 阶非零子式 或 ，故 以上证明了若 经过一次初等行变换变为 ， 则 由于 亦可经过一次初等行变换变为 ，故 也有 因此 经过一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知 经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变. 对于初等列变换的情形， 设 经初等列变换变为 ，则 经初等行变 换变为 ，由以上证明知 又 因此 总之，若 经有限次初等变换变为 ，则 Back 证 因为 的最高阶非零子式总是 的非零 子式，所以 同理有 两式和起来即为 下证另一个不等号，设 则 和 的列阶梯形中分别含有 个和 个非零列，设为 用初等列变换分别把 和 化为列阶梯形 和 ， * * 第六讲 矩阵的秩 主要内容 矩阵的秩的概念； 初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵 的秩的求法； 矩阵的秩的基本性质. 基本要求 理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理； 掌握用初等变换求矩阵的秩的方法； 知道矩阵的标准形与秩的联系； 知道矩阵的秩的基本性质. 第三节 矩阵的秩 用初等变换把矩阵 化为标准形. 解 问题: 在 的标准形中，左上角的单位矩阵的 阶数是否唯一呢？ 在第一节中，已经指出可以证明标准形的左上角的单位阵的阶数是唯一的，完全由 确定. 这个数也就是 的行阶梯形中非零行的行数，这个便是矩阵 的秩. 定义 在 矩阵 中，任取 行与 列 ， 位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式. 例如 是 的一个2阶 子式， 的2阶子 式共有 个. 一般地， 矩阵 的 阶子式共有 个. 定义 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵的秩，记作 或 . 规定：零矩阵的秩等于0. 例1 求矩阵 和 的秩. 在 中，容易看出一个2阶 子式 的3阶子式只有一个 因此 在 中， 由于它是行阶梯形 矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零， 因此 这里的两个行列式分别是 和 的最高阶非零子式 说明 根据行列式的展开法则知，在 中当所有 阶 子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零， 因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式； 矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征； 当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则 矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征. 对于 阶矩阵 ，当 时， 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵. 由于 阶矩阵 的 阶子式只有一个