相似和二次函数中考综合题教师.doc

1、如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx 所以抛物线的表达式为． 抛物线的顶点M的坐标为．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A、B(2,0)、M，得，，． 所以∠ABO＝30°，． 因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①如图3，当时，．此时C(4,0)． ②如图4，当时，．此时C(8,0)． 图3 图4 2、如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 （1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )． （2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP． 所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b． 解得．所以点P的坐标为()． ，得A()，OA＝1． ①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． 当，即时，△BQA∽△QOA． 所以．解得．所以符合题意的点Q为)． ②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． 当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)． 图4 图5 3、如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 （1）将M(2, 2)代入，得．解得m＝4． m＝4．所以C(4, 0)，E(0, 2)． 所以S△BCE＝． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小． 设对称轴与x轴的交点为P，那么． 因此．解得．所以点H的坐标为． （4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′． 由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC． 设点F的坐标为，由，得． 解得x＝m＋2．′(m＋2，得．所以． 由，得． 整理，得0＝16．′⊥x轴于F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得． 解得x＝2m．′．所以BF′＝2m＋2，． 由，得．解得． 综合①、②，符合题意的m为． 4、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 （1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M（1