相似三角形的性质提高题及答案.doc

相似三角形的性质 知识精要 相似三角形对应边的比称为这两个三角形的相似比，形似比用字母k表示。如△ABC∽△ABC，则,注意：相似比具有方向性，若写作△ABC∽△ABC，则相似比为。 根据合比容易得到“相似三角形的周长比等于相似比”，记△ABC和△ABC的周长分别为和，则. 类型一 相似比与周长比 在有关相似三角形的计算问题中，通过对应边的比例式建立方程式常用的方法。 例题精解 例1 如图，已知等边三角形ABC的边长为6，过重心G作DE//BC,分别交AB,AC于点D,E.点P在BC上，若△BDP与△CEP相似，求BP的长。 点评：这是一类常见的有关三角形相似的分类讨论的问题。图中只能确定一组相等的角（∠B=∠C）为对应角，但“这个角的两组夹边对应成比例”的比例式排列顺序还不能完全确定，因此要分为两种情况进行讨论。 【举一反三】 如图，△ABC中，CD是角平分线，E在AC上，CD2=CB·CE. 求证：△ADE∽△ACD； 如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的长。 点评：先根据判定定理2得到△BCD∽△DCE，再根据判定定理1得到△ADE∽△ACD，这种类似于“二次全等”的“二次相似”是证明相似三角形常用的方法。 如图，△ABC中,DE//BE,分别交AB于D，交AC于E。已知AB=7，BC=8，AC=5，且△ADE与四边形BCED的周长相等，求DE的长。 点评：无论是以相似比k作为未知量，还是以DE=x作为未知量，目的都是为了把其他的量用k或x来表示，根据题设的等量关系列方程。这一解题思路可称为“方程思想”，这是用代数方法解决几何问题的基本思想。 如图，正三角形ABC的边长为1，点E,F分别在边AB,AC上，沿EF将△AEF翻折，使点A恰好落在BC上的点D.已知AE:AF=5:4，求BD的长。 点评：本题的难点是将比值转化为△BED和△CDF的相似比和周长比。 类型二 相似比与对应线段之比 如图△ABC∽△ABC，相似比为k，若AH,AM,AE和AH,AM,AE分别是△ABC和△ABC的高、中线和角平分线，则。 广义地说，所谓“对应线段”应当包括两个相似三角形对应位置上的所有对应线段，如上图2中BE和BE，ME和ME等；而相似三角形对对应位置上的所有三角形也都是相似三角形，如图2中的△ABE∽△ABE,△AME∽△AME等。 例2 如图，△ABC中，D在BC上，∠DAC=∠B,角平分线CE交AD于F.已知BD=1，DC=3.求CF:EF的值。 点评：本题考查了相似三角形中对应角平分线的相似比问题。 【举一反三】 如图，∠BAE=90°，AB=AC=CD=DE,F是BC的中点，联结BE,BD,DF. 找出图中的相似三角形并说明理由； 求DF:DB的值。 点评：第（2）小题也可以将看作是△CFD∽△CDB的对应边之比。 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为E,F。求证：DE2:DF2=AD:DB. 点评：解题思路从相似三角形的面积比入手。一方面，相似三角形的面积比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面积之比等于相应的边长之比，从而建立起与线段平方比有关的比例式。 一块直角三角形木板的两条直角边AB长为1.5米，BC长为2米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的的正方形桌面，请甲乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1-4-9，乙设计方案如图1-4-10.你认为哪位同学设计的方案中正方形面积较大？试说明理由。（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数） 点评：利用“相似三角形的对应高之比等于相似比”，是解三角形的内接矩形问题的常用方法。 类型三 相似比与面积比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。例如，如图1-4-12，△ABC中，D,E和F,G分别是AB和AC的三等分点，则△ADF,△AEG,△ABC的周长比是1:2:3，面积比是1:4:9，而DF,EG将△ABC分成的三部分面积之比1:3:5. 另外，两个有公共高的三角形的面积之比等于对应的底边之比。例如，如图1-4-13，△ABC中，∠C=90°，CD是高，则△ADC∽CDB,,另外，CD是它们的公共高，故,这样我们就很容易得到一个比例式：.这种证明方法称为“面积法” 例3 如图，△ABC中，过重心G作DE//BC分别交AB,AC于点D,E,作DF//AC交BC于点F.求证：。 点评：这个结果说明，三角形ADE与四边形DECF面积相等，这种等积变换很难通过画平行线的方法验证，只有利用相似三角形的性质通过计算来验证。 【举一反三】 如图，△ABC中，点D在BC上，∠DAC=∠B.求证：AB2:AD2=BC:DC. 如图，梯形ABCD中，