第33讲平面向量的概念及线性运算.doc

第三十三讲 平面向量的概念及线性运算 考点梳理 1．向量的基本概念： 1、定义：既有 又有 的量叫做向量。 2、表示方法：向量常用一条 来表示， 的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 。 向量也可用字母、、等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 向量的大小，也就是向量的 （或称 ），记作 。 3、特殊向量：长度为0的向量叫做 ，记作 。方向 。 长度等于 的向量，叫做单位向量，与方向无关。 4、向量关系：⑴相等向量： 且 的向量叫做相等向量。向量与相等，记作 。⑵相反向量：与 ， 的向量，叫做的相反向量，记作，和互为相反向量。并且规定，零向量的相反向量仍是 。 。 ⑶方向 的非零向量叫做平行向量。规定与任一向量 。 任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做 。向量的加法 ⑴已知向量，。在平面内任取一点A，作，，则向量 叫做与的和，记作 。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵ 对于零向量与任一向量，有 。 向量的加法满足交换律与结合律，即 ， 。 ⑶向量加法的平行四边形法则： 向量加法的三角形法则： 3．向量的减法 ⑴任一向量与它相反向量的和是 ，即 。 ⑵向量的减法：向量加上的相反向量，叫做与的 ，即 。 求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 ⑶向量减法的三角形法则： 的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 5．两个向量共线定理： 向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得______。 四．典型例题： 例1．给出下题若|＝|，则；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件=的充要条件是|=||且//；若，，则； （6）若两个向量、满足，则； （7）若∥,∥,则∥; 7）- =0 其中正确的序号是＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ （2）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（ ） A． B． C． D． 例3．已知：向量不共线，若，，，使A、B、D共线，实数的值。 例4如图，平行四边形ABCD中，＝，＝，是中点，使，用、表示向量与则 （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1 2．（2010湖北文数）8.已知和点M满足.若存在实使得成立，则= A.2 B.3 C.4 D.5 第三十四讲 向量的基本定理与坐标运算 考点梳理： 1．平面向量基本定理 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有 ，使 。 把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组 。平面向量的坐标运算 ⑴平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴 的两个 、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 。 我们把叫做向量的 ，记作 叫做向量的坐标表示其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标与相等的向量的坐标也为 。 ， ， 。 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。⑵平面向量的坐标运算 已知，，则 。 若，，则 。已知和实数，那么 。 ⑶向量平行的坐标表示 设，，其中。的充要条件是 。 ⑷平面向量数量积的坐标表示： ①已知两个非零向量，，则· 。 ②设，则 ，或 。 ③设两个非零向量，，则 。 =(x,y)，则=(x, y)； ，或