第52讲随机变量的分布列期望方差.doc

第 52讲 随机变量的分布列、期望、方差 【考点解读】 1．离散型随机变量的分布列．随机变量的期望和方差．如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做，随机变量通常用希腊字母，等表示如果随机变量可能取的值，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量． 从函数的观点来看，＝xk)＝Pk，k＝1， 2， …，n，…称为离散型随机变量的函数，这个函数可以用表示这个叫做离散型随机变量的分布列． 离散型随机变量分布列的性质1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即 ． (2) 所有这些概率值的总和为即3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作若离散型随机变量的分布列为则称为的数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．对于随机变量，称为的方差．的算术平方根叫做的标准差．随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的．数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关．平均数：＋＋… 样本方差： 以上两式中恰是出现的频率．这与数学期望与方差的定义式一致．数学期望与方差的性质：若（为随机变量），则，服从二项分布的随机变量的期望与方差：若, 则1．某射手射击所得环数X的分布列为： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　) A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 解析：选C.P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. ．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选C.由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝. ．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)； 若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________． 解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了． X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对． X＝2，甲抢到2题均答对． X＝3，甲抢到3题均答对． 答案：－1,0,1,2,3 4．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________. ξ 0 1 2 P －p p 解析：Eξ＝p＋1≤(0≤p≤)；Dξ＝－p2－p＋1≤1. 答案：　1 5．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________. 解析：当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴Eξ＝1×＋2×＝. 答案： 袋子中有1个白球和2个红球．每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列． 解 ⑴ ＝ ＝ 所求的分布列是 1 2 3 ⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是 1 2 3 … … P … … ⑶ 1 2 3 4 5 P ⑷ ∴ P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k， 其中 ∴所求的分布列是 P 【变式训练1】：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布. 解： 0 1 2 4 P . 考点二：数学期望、方差 例2.在某电视台的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获100分，答对问题B可获200分，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分将决定获奖的档次．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为、. (1)记先回答问题A的得分为随机变量X，求X的