第4讲与圆锥曲线有关的定值最值.docx

第4讲 与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题一、填空题1．已知椭圆C：＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，点P(x0，y0)满足0＋y1，则PF1＋PF2的取值范围是________．解析　由题意，得点P在椭圆＋y2＝1的内部，所以2c≤PF1＋PF22a，即2≤PF1＋PF22.答案　[2,2)．2．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析　由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得0，即sin αcos α0.又α∈，所以α.答案　3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得·0的点M的概率为________．解析　设点P的坐标为(m，n)，则·＝(－－m，－n)·(－m，－n)＝m2－3＋n2＝m2－3＋1－＝－20，解得－m，∴·0的概率为P＝＝.答案　4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)是椭圆＋＝1(ab0)的焦点，P是椭圆上一点，且·＝0，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析　设||＝m，||＝n，则由·＝0，得⊥，所以有m2＋n2＝F1F＝4c2.又由椭圆定义，得m＋n＝2a.于是由不等式≥2，得2c2≥a2，所以e2＝≥.又0e1，所以≤e1.答案　5．已知椭圆方程为＋＝1(ab0)，当a2＋取最小值时，椭圆的离心率e＝________.　解析　a2＋≥a2＋＝a2＋≥2 ＝16，当且仅当a2＝8，b2＝a2＝2时等号成立，此时c2＝a2－b2＝6，所以e＝＝.答案　6．设F1、F2分别是椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析　设P，F1P的中点Q的坐标为，当y≠0时，有kF1P＝，kQF2＝，由kF1P·kQF2＝－1得y2＝，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b20，即3c2－a20，即e2，故e1.当y＝0时，b2－2c2＝0，此时kQF2不存在，此时F2为PF1中点，－c＝2c，得e＝，综上得≤e1，故填.答案　7．设椭圆恒过点(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________．解析　因为＋＝1，所以b2＝(a25)，所以＝＝＝≥＝2＋，当且仅当a2＝5＋2时等号成立．答案　2＋8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该离心率e的取值范围是________．解析　因为PF1＝ePF2，PF1＋PF2＝2a，所以PF1＝，PF2＝，因为e∈(0,1)，所以PF1＜PF2.由椭圆性质知a－c≤PF1≤a＋c，所以a－c≤≤a＋c，即a－c≤≤a＋c，即a2－c2≤2ac≤(a＋c)2，即e2＋2e－1≥0.又0＜e＜1，所以－1≤e＜1.答案　[－1,1)二、解答题9．已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.当x1≠x2时，由，得＝－·.设线段PQ的中点N(1，n)，∴kPQ＝＝－，∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，∴(2x－1)n－y＝0，则直线恒过一个定点A.当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，故点B.∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，PB2＝2＋y＝(x1＋1)2＋≥，∴当点P的坐标为(0，±)时，PBmin＝.10． 如图过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(2)当点P异于点B时，求证：·为定值．(1)解　由已知得b＝1，＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1.椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0.解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－，所以D点坐标为.故CD＝ ＝.(2)证明　当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)．代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，所以D点坐标为.又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得因此Q点坐