第9节最小二乘估计.doc

§9 最小二乘估计 (田文亭 陕西师范大学 710062) 【教材版本】 北师大版 【教材分析】 本节课的教学内容是《数学3》第1章§9 相关性，是本章的最后一节，教学课时为1课时. 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，常常需要对大量纷繁复杂的信息收集和分析它可以为人们制定决策提供依据因此，统计的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识对学生来说是一个新的内容样本估计总体，介绍了最小二乘法的教科书首先学生体会最小二乘法的思想，并根据给出的公式求线性回归方程最后，通过具体的例子让学生理解最小二乘法的思想，以及用样本数据拟合结果的随机性…… 老师:那么哪一种方法更好的说明了变量的关系呢，今天我们就学习一种新的确定线性方程的方法---最小二乘法． 设计意图：回顾旧课，导入新课． 二、新知探究 （一）温故知新 老师：在我们上一节课的新知探究中，我们引入了一个关于10名男网球选手的身高（x）与体重（y）关系的例子，大家回忆一下 （教师呈现上节课所讲内容，温故知新） 上一节课的例子：下面是世界上10名男网球选手的身高（x）与体重（y）情况． 身高(x)/cm 190 196 175 185 186 180 198 188 194 193 体重（y)/kg 82 88 63 79 80 75 96 75 92 86 你能分析选手的身高与体重有怎样的关系吗？ 散点图如右 老师：从散点图中，我们可以看出，身高与体重近似成什么关系？ 学生：（回忆后）它们近似成线性关系． 老师：你是怎么画出一条直线来近似地表示这种线性关系的？（教师可让学生拿出上节课所画的坐标纸，或提问两个学生所画直线的依据） 学生：(回答)经过直线的点数最多…… 老师：有一个直观的想法，我们不难理解，我们所画出的直线必须“最贴近”上述散点图上的数据点，那么，我们如何找到它呢? 怎样表达“最贴近”呢？ 学生：思考…… 老师：(结合图示进行讲解) 像右图这样， 假设一条直线的方程为： ,任意给定一个样本点,我们用来刻画这个样本点与这条直线的“距离”，用它来表示二者之间的接近程度．（结合图示，重点让学生理解，从而为下面抽象概括学习最小二乘法作铺垫） （二）思考交流: （1）,, , , ,怎样刻画这些样本点与直线的接近程度？ (2) 如果有10个样本点，其坐标分别为: ,…… ，怎样刻画这些样本点与直线的接近程度？ …… 抽象概括 什么是最小二乘法、线性回归方程，并给出最小二乘法求线性回归方程的系数公式．（公式的推导过程不讨论） 设计意图：使学生体验由特殊到一般、由具体到抽象的思维过程,培养学生的概括归纳能力和用数学语言进行交流的能力． （三）应用举例 例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的．数据如下表： 气温（xi)/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64 （1）试用最小二乘法求出线性回归方程． （2）如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯． 本题可在教师引导下，由学生合作交流完成，通过亲自体验用最小二乘法解决问题的过程，加深对最小二乘法的理解． 教师总结：利用最小二乘法估算时，要先作出数据的散点图…… 设计意图：熟悉用最小二乘法解决问题的过程和方法，增进对最小二乘法的理解． （四）动手实践 参见上一节北京市某中学学生关于身高与右手一拃长之间的数据，用最小二乘法估计二者之间的线性回归方程． 任意选取其中的5个数据； 任意选取15个数据； 利用所有数据； 比较这三个方程，说说你的看法． 在实践的过程中，可把学生分成A、B、C、D三组，A组选取样本中的5个数据，B组选取样本中的另外不同的5个数据，C组选取样本中的15个数据，D组利用所有数据，分组后每组根据所选数据，分别根据最小二乘法估计线性回归方程．最后，由每组的一名代表带黑板上板书，然后由老师引导，对结果作比较． 总结：利用数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果．从理论上来说，数据越多，拟合的效果越好．通过A组和B组做比较，即使我们选取相同的样本数，得到直线的方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成的． 设计意图：通过分组对照,相同之处与不同之处显而易见，使学生对本节所学知识有了更进一步的认识．在此过程中，培养学生的合作意识和动手实践能力． 三、反思所学 例子：下面是两个变量的一组数据： X 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1 4 9 16 25 36 49 64 （1）请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程． （2）从我们提供的数据中很容易看出;,而我们用最小二乘