线性代数习题[第四章]向量组的线性相关性.doc

习题 4-1 向量组的线性相关性 1．向量组（s≥2）线性无关的充分条件是　　　　　　。 a．均不是零向量； b．中任意两个向都不成比例； c．中任意一个向量均不能由其余个向量表示； d．存在的一个部分组是线性无关的。 2．如果向量可由向量组线性表示，则　　　　　　 a．存在一组不全为0的数，使得成立； b．对的线性表示式不唯一； c．向量组是线性相关； d．存在一组全为0的数，使得成立。 3．设向量组，当　　　　时，能由线性表示。 a．（2，0，0），（，0，4）； b．（2，0，0），（1，1，0）； c．（，0，4），（1，1，0）； d．（2，0，0），（0，，0）。 4．设向量组线性无关而线性相关，则　　　　　　。 a．必可由线性表示； b．必不可由线性表示； c．必不可由线性表示； d．必可由线性表示。 5．设向量组线性无关，则向量组　　　　 　　线性无关。 a．； b．； c．； d．. 6. 设，其中， ，试求。 7. 判断下列向量组的线性相关性。 (1) (2) 8. 　设线性无关，讨论线性相关性。 9. 已知, ，试问能否由线性表出？写出其表达式。 10. 设，问 （1）为何值时，线性无关？ （2）为何值时，线性相关？并将表示成的线性组合。 11. 设A是阶方阵，是维列向量，如为正整数，证明：线性无关。 习题4-2 向量组的秩 1．向量组 的秩为 a．1； b．2； c．3； d．4。 2．设A为阶方阵，且|A|=0，则 a．A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合； b．A中必有两行（列）对应元素成比例； c．A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合； d．A中至少有一行（列）向量为零向量。 3．已知向量组的秩为，则下列四个断语中，不正确的是 。 a．中至少有一个个向量的部分组线性无关； b．中任何r个向量的线性无关的部分组与可互相线性表示； c．中任意r个向量的部分组皆线性无关； d．中r+1个向量的部分组皆线性相关。 4．设向量组的秩为2，则t＝　　　　　　　　。 a．t=1； b t=3； c．t=4； d．t=2。 5. 求下列向量组的秩和一个最大线性无关组： (1) (2) ； 6．设，求作一个4×2阶矩阵，使，且使. 习题4-3 线性方程组的解的结构 1．如果齐次线性方程组中，方程的个数少于未知数的个数，则此方程组　　　　　　。 a．只有零解； b． 只有非零解； c．有基础解系； d．无基础解系。 2．方程的解空间的维数是　　　　　　。 a．1； b．2 c． d． 3．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是　　　　　　。 a．A的任两个列向量线性相关； b．A的任两个列向量线性无关； c．A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合； d．A中任一列向量是其余列向量的线性组合。 4．方程组的系数矩阵的秩为2，则此三条直线的位置关系是　　　　　　。 a．交于一点； b．交于二点； c．交于一点或两点； d．以上都不是 5．设A是矩阵，B是矩阵，则　　　　　　。 a．当时，必有行列式； b．当时，必有行列式； c．当时，必有行列式； d．当时，必有行列式。 6. 求齐次线性方程组的基础解系。 7. 解方程组 8. 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 ， 。 9. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且 ，,求该方程组的通解。 10. 设向量组是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系，向量β不是方程组AX=O的解，即≠0，求证：线性无关。 11. 设阶矩阵A满足，E为阶单位阵，证明 班级： 姓名： 序号： 线性代数练习纸 [第四章] 向量组的线性相关性 22 21