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线性代数习题[第五章]相似矩阵及二次型
5-1向量的内积与方阵的特征值
1．设为矩阵的特征值，且，则为 的特征值。
2．设为阶实对称阵，为的不同特征值对应的特征向量，则 。
与线性相关； 与线性无关；
3．设都为阶矩阵的特征值，且分别为对应于的特征向量，则当 满足时，必为的特征向量。
且； 且； 且；
4．设阶方阵的特征值全不为零，则 。
5.设矩阵,求A的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组正交化。
7．设与都为阶正交阵，证明：也是正交阵。
8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。
9．设为维列向量且，而，试证是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化
1．设与为阶方阵，则是与相似的 。
充分条件； 必要条件； 充要条件； 无关条件
2.对实对称阵，有与 。
互为逆矩阵； 相似； 等价； 正交
3. 阶矩阵与对角阵相似的充要条件是 。
a. 矩阵有个特征值； b. 矩阵有个线性无关的特征向量；
c. 矩阵的行列式； d. 矩阵的特征多项式有重根
4. 设阶矩阵与相似，则 。
a.与正交； b. 与有相同的特征向量；
c. 与等价； d. 与相同的特征值。
5.若与是相似矩阵，证明与也相似。
6.设方阵与相似，求与。
7.设三阶方阵的特征值1，—2，2，且，求的特征值与。
8.设矩阵，①求的特征值，②求E+的特征值。
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线性代数练习纸 [第五章] 相似矩阵及二次型
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