线性代数公式手册.doc

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线性代数公式手册

目 录 线性代数 1 (一) 行列式 1 (二)矩阵 2 (三) 向量 5 (四)线性方程组 8 (五)矩阵的特征值和特征向量 10 (六)二次型 11 线性代数 (一) 行列式 或 即 其中 (2)设为阶方阵,则 但不一定成立 (4) 但 (6)范德蒙行列式 设A是n阶方阵,是A的n个特征值,则 (二)称为矩阵,简记为则称是阶矩阵或阶方阵. 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 设是两个矩阵,则 矩阵称为矩阵 与的和,记为 2矩阵的数乘 设是矩阵,是一个常数,则矩阵称为数与矩阵的数乘,记为. 3矩阵的乘法 设是矩阵,是矩阵,那么矩阵,其中 称为的乘 积,记为 方阵的幂,方阵乘积的行列式,矩阵的转置,逆矩阵的概念和性质,矩阵可逆的充要条件,伴随矩阵, 1三者之间的关系 但 不一定成立, , 但不一定成立 2有关A*的结论 3)若可逆,则 4)若为阶方阵,则 3有关的结论 矩阵的初等变换,初等矩阵,矩阵的秩,矩阵等价,分块矩阵及其运算 1有关矩阵秩的结论 1)秩r(A)=行秩=列秩; 2) 3); 4) 5)初等变换不改变矩阵的秩 6)特别若 则 7)若存在 若存在 若 若 8)只有零解 2分块求逆公式 ; ; ; 这里A,B均为可逆方阵 (三) 向量 线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关,,线性相关可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 ) 2有关向量组的线性相关性 (1)部分相关,整体相关;整体无关,部分无关. (2) ① n个n维向量 n个n维向量线性相关 ② n+1个n维向量线性相关. ③若线性无关,则添加分量后仍线性无关; 或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关 向量组的极大线性无关组,等价向量组,向量组的秩 1有关向量组的线性表示 (1)线性相关至少有一个向量可以用其余向量线性表示. (2)线性无关,,线性相关 可以由惟一线性表示. (3)可以由线性表示 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,向量空间及相关概念 1设,则的秩与的行列向量组的线性相关性关系为: (1)若,则的行向量组线性无关. (2)若,则的行向量组线性相关. (3)若,则的列向量组线性无关. (4)若,则的列向量组线性相关 n维向量空间的基变换和坐标变换,过渡矩阵 1基变换公式及过渡矩阵 若与是向量空间的两组基,则基变换公式为 其中是可逆矩阵,称为由基到基的过渡矩阵 2坐标变换公式 若向量在基与基的坐标分别是 ,即 ,则向量坐标 变换公式为 其中是从基到基的过渡矩阵 向量的内积,线性无关向量组的正交规范化方法 内积: Schmidt正交化 若线性无关,则可构造使其两两正 交,且仅是的线性组合,再把 单位化,记,则是规范正交向量组.其中 , ………………………………… 规范正交基,正交矩阵及其性质 1正交基及规范正交基 向量空间一组基中的向量如果两两正交,就称为正交基;若正交基中每个向量都是单位向量,就称其为规范正交基 (四)线性方程组 考试内容 对应公式、定理、概念 线性方程组的克莱姆法则,奇次线性方程组有非零解的充分必要条件 1克莱姆法则 线性方程组,如果系数行列式,则方程组有唯一解 ,其中是把中第列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式. n阶矩阵可逆只有零解.总有唯一解,一般地, 只有零解. 非奇次线性方程组有解的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构 1设A为矩阵,若,则对而言必有从而有解. 2设为的解,则当时仍为的解;但当时,则为的解.特别为的解;为的解. 3非齐次线性方程组无解不能由的列向量线性表示. 奇次线性方程组的基础解系和通解,解空间,非奇次线性方程组的通解. 1齐次方程组恒有解(必有零解).当有非零解时,由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量,因此的全体解向量构成一个向量空间,称为该方程组的解空间,解空间的维数是,解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 2 是的基础解系,即 (1) 是的解; (2) 线性无关; (3) 的任一解都可以由线性表出. 是的通解,其中是任意常数. (五)矩阵的特征值和特征向量 考试内容 对应公式、定理、概念 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 1设是的一个特征值,则 有一个特征值分别为 且对应特征向量相同( 例外). 2若为的n个特征值,则 从而没有特征值. 3设为的s个特征值,对应特征向量为 ,若 则 相似变换、相似矩阵的概念及性质

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